Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине (стр. 2 из 11)

Пример:

Опр. Пусть

, , . Произведение скаляра на матрицу называется у которой в строке, столбце расположен элемент . Другими словами: Чтобы скаляр умножить на матрицу нужно все элементы матрицы умножить на скаляр .

Определение. Противоположной к матрице

называется матрица

Свойства сложения и умножения матриц на скаляры:

-абелева группа

1) Сложение матриц

ассоциативно и коммутативно.

2)

3)

а)

б)

4)

Глава II

§1 Умножение матриц

,

,

Опр. Произведением

матрицы на матрицу называется матрица . , где

, где

Говорят, что

есть скалярное произведение -строки матрицы на -столбец матрицы .

, где

Пример:

§2 Свойства умножения матриц

Умножение матриц ассоциативно:

1)

, если определены произведения матриц и

Доказательство:

Пусть

, так как определено , то и определено , то

Определим матрицы:

а)

б)

(1) матрицы, тогда имеют одинаковую размерность

2) Покажем, что на одинаковых местах в матрицах

расположены одинаковые элементы

из равенства (1) (2), (3). Подставляя (3) в (2) получим:

, тогда (4), (5). Подставляя (5) в (4) получим:

Вывод: Матрицы

имеют одинаковую размерность и на одинаковых местах расположены одинаковые элементы.

Умножение матриц дистрибутивно

:

Доказательство:

так как определено , то и определено , то

размерности

размерности

Матрицы

имеют одинаковую размерность, покажем расположение одинаковых элементов:

,

,

Вывод: На одинаковых местах расположены одинаковые элементы.

3.

, . Если определены матрицы, то доказательство проводим аналогично свойству 2.

4.

, : , если определена матрица