Опр. Минор
элемента определителя порядка - определитель порядка , полученный из вычеркиванием -строки и -столбца.Главные миноры определителя
Для
главные миноры есть определители , , …, ,Пример:
Рассмотрим матрицу
и вычислим ее миноры : , ,Определение. Алгебраическим дополнением элемента
обозначается называется числоПример: Вычислим
, ,Лемма 1
и .Доказательство:
(в сумме только те слагаемые ненулевые, где )Тогда подстановка имеет вид:
, где . К подстановке поставим в соответствие т.е , такое соответствие называется взаимооднозначным отображением множества подстановок на множество подстановок , . Очевидно, что и имеют одинаковые инверсии, значит имеют одинаковую четность и знакиЛемма 2
Если равны нулю все элементы какой-либо строки (столбца) матрицы
за исключением быть может одного элемента, то определитель матрицы равен произведению этого элемента на его алгебраическое дополнениеДоказательство:
Пусть все элементы
-строки матрицы за исключением элемента , перестановкой строк и столбцов переместили элемент в правый нижний угол , значит строк и -столбцов. Знак будет меняться раз, после этого получиться матрица у которой все элементы последней строки кроме может быть равны нулю. По Лемме 1 , т кТеорема Лагранжа
равна сумме произведений элементов какого-либо столбца (строки) матрицы на их алгебраическое дополнение. Другими словами: разложение по -столбцу матрицы имеет вид: , а разложение по -строке матрицы :Доказательство:
рассмотрим
-столбец матрицы и запишем в виде: , по 6 свойству определителей: , аналогично доказывается формула разложение по -строке матрицы .Теорема 2
Справедливы равенства:
Рассмотрим матрицу
, которая получена из матрицы следующим образом: все столбцы матрицы , кроме -го такие же как и у матрицы . -тый столбец матрицы совпадает с -столбцом , тогда у два одинаковых столбца, поэтому определитель матрицы равен нулю, разложим определитель матрицы по -тому столбцу. , , тогда . Формула (2) показывается аналогично.Следствие:
§5 Определитель произведение матриц
поле скаляров, ,Лемма 1