Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине (стр. 7 из 11)

Пусть

элементарная матрица порядка , тогда справедливо равенство:

1)

., т.е получена из матрицы , умножением -строки на скаляр . Определитель матрицы .

Матрица

получена из умножением -строки на скаляр , поэтому определитель

2)

Матрица, полученная из

прибавлением к -строке

Лемма 2

-элементарные матрицы

1)

, доказательство следует из Леммы 1

2)

, доказательство из утверждения (1) при условии

Теорема 1

Определитель произведения двух матриц равен произведению их определителей т.е.

Доказательство:

Пусть строки матрицы

линейно независимы, тогда существует цепочка элементарных преобразований , тогда по Лемме 2 следует, что . Из того, что ( ) имеем: , тогда

2) Строки

линейно зависимы, тогда существует цепочка элементарных преобразований, которая переводит в ступенчатую матрицу , у которой есть нулевая строка т.е. , . Тогда

Из того, что

, в произведении , тоже есть нулевая строка, потому

Необходимые и достаточные условия равенства определителя нулю

поле скаляров, ,-матрица над полем

Теорема 1

строки (столбцы) матрицы линейно зависимы

Достаточность:

Если строки (столбцы) матрицы

линейно зависимы, то какая-то строка является линейной комбинацией других строк (по 8 свойсву определителей)

Необходимость:

Пусть

. Докажем, что строки линейно зависимы. Предположим, что строки линейно независимы, тогда существует цепочка элементарных преобразований переводящее . Из доказанного в пункте II следует, что . Получили противоречье . Докажем, что если -строка матрицы линейно зависима, , но (числа векторов столбца) линейно зависима.

Теорема 2

следующие условия равносильны:

1)

2)

-линейно зависимы

3)

-обратима

4)

представима в виде произведения элементарных матриц

Доказательство:

доказано в Теореме 1

§6 Разбиение матриц

Если

матрицу , матрицу , матрицу и матрицу записать в виде

(1)

То они, образуют некоторую

матрицу . В таком случае могут быть названы блоками матрицы . И обозначены соответственно. Представление (1) называется разбиением матрицы .

Если матричное произведение

существует и , разбиты на блоки , , а разбиение по столбцам матрицы соответствует разбиению по строкам матрицы , то можно ожидать, что имеет блоки , задаваемые формулой