Таким образом, мы предполагаем, что произведение матриц в терминах блоков, полученных при соответствующих разбиениях сомножителей, формально совпадает с произведением этих матриц в терминах скалярных элементов. Покажем это на примере:
Упражнение1. Пусть
, , , ,Это проверяется прямым вычислением
Теорема (1)
Пусть матрица
из имеет блоки , где матрица, , и матрица из с блоками размера . Тогда имеет блокиДоказательство. Отметим, что каждое произведение
существует и является матрицей. Следовательно, существует и будет матрицей. Для фиксированного каждое имеет столбцов и для фиксированного каждое имеет строк, откуда следует, что блоки некоторой матрицы .Пусть
некоторый элемент матрицы , расположенный в клетке блока . Так как , есть сумма элементов в клетках и матриц , . Но элемент матрицы в клетке является суммой произведений элементов в строке матрицы на элементы столбца матрицы . Далее, элементы строки матрицы совпадают с некоторыми элементами строки в , а именно, с , где индекс определяется неравенствами , если , еслиЭлементы столбца
матрицы будут элементами в . Следовательно,Мы определили миноры порядка
для определителя. В общем случае, если из -матрицы выбросить все строки, кроме строк , и все столбцы, кроме столбцов , то определитель полученной в результате матрицы называется минором матрицы порядка , тоМиноры, для которых
, называются главными для матрицы . Если - матрица, то и алгебраическое дополнение , например, естьЕсли квадратная матрица является произведением некоторых матриц (которые могут быть прямоугольными), то иногда важно выразить определитель произведения в терминах свойств сомножителей. Следующая теорема - мощный результат этого рода.
§7 Теорема (формула Бине-Коши)
Теорема (формула Бине-Коши)
Пусть
, - и -матрицы соответственно, иТогда
Другими словами, при
определитель матрицы является суммой произведений всевозможных миноров порядка в на соответствующие миноры матрицы того же самого порядка.Упражнение1. Покажем на примере
Пусть
, , и , тогда по формуле Коши-Бине: