Математическое моделирование полета лыжника при прыжке с трамплина (стр. 2 из 4)

Если старт и полет проходят нормально, то практически невозможно приземлиться раньше начала склона приземления. Но существует другая опасность. Лыжник оканчивает полет с большой скоростью, которую необходимо погасить. Для этого существует слегка закругляющийся участок торможения. Но если прыгун перелетает критическую точку, то он серьезно рискует, так как дальше склон закругляется вверх, и угол, под которым его траектория подходит к склону, будет составлять уже не 5-10О, а значительно больше. Поэтому приземление ральше или позже специально созданного для этого участка приземления в первом случае невозможно, а во втором - недопустимо. Параллельная склону составляющая скорости гасится при дальнейшем движении лыжника по зкругленному склону. Наибольшую опасность при приземлении представляет собой составляющая скорости, перпендикулярная склону, так как при слишком большой нормальной скорости кроме больших ударных нагрузок также есть риск упасть - при том, что в момент приземления лыжник имеет скорость в несколько десятков км/ч. Поэтому нормальная к склону составляющая посадочной скорости не должна превышать 7 м/с, а желательно должна составлять 3-5 м/с.

3. Математическая постановка задачи

3.1. Предположения

Ось абсцисс направлена в сторону полета лыжников параллельно горизонту, ось ординат - вверх через край стола отрыва, называемый кантом отрыва. Начало координат расположено так, что абсцисса точки старта и ордината критической точки

- конца участка приземления - равны нулю. Если нет бокового ветра и других возмущений, центр масс лыжника описывает кривую в вертикальной плоскости, то есть задачу полета можно рассматривать как двухмерную.

Очевидно, прыгун может изменять свои аэродинамические параметры, на которые влияют следующие факторы:

кинетический момент системы прыгун-лыжи относительно оси, перпендирулярной плоскости рисунка и проходящей через центр масс системы, в момент отрыва и в полете;

изменение момента инерции системы относительно той же оси в полете;

различные активные и реактивные эффекты, связанные с вращением различных частей тела вследствие работы мышц.

Результаты многих исследований кинограмм [1, 5] доказывают относительную статичность положения каждого прыгуна в полете. Это упрощает описание картины перемещений и скоростей системы прыгун-лыжи и позволяет использовать индивидуальные экспериментальные характеристики, получаемые в аэродинамической трубе. Благодаря этому было введено предположение о неизменности позы лыжника в полете.

Весь прыжок можно разбить на четыре фазы: взлет, группировку, собственно полет и подготовку к приземлению. Первая фаза длится примерно 0.3 с, вторая -0.8-0.9 с, третья - 0.3-0.6 с. Все остальное время поза лыжника практически не меняется - см. рис.2 [1].

Рис. 2. Изменение угла атаки прыгуна во время прыжка

(по оси абсцисс отложено отношение текущей дальности к полной дальности прыжка, по оси ординат - угол атаки туловища в градусах по результатам среднего прыжка).

Таким образом, в основной фазе полет прыгуна близок к поступательному движению, что делает естественным предположение о замене рассмотрения прыгуна рассмотрением движения его центра масс.

3.2 Уравнения движения

На прыгуна в полете действуют две основные силы: аэродинамическая сила и сила тяжести. Разложим аэродинамическую силу на две составляющие - подъемную силу и силу лобового сопротивления (см. рис.3) - и запишем второй закон Ньютона для центра масс системы лыжник-лыжи:

, (1)

где

- сила тяжести;

- масса системы прыгун-лыжи;

- ускорение центра масс системы;

- ускорение свободного падения;

- подъемная сила;

В подобных случаях под набегающим потоком воздуха понимается скорость воздуха относительно системы лыжник-лыжи. При старых техниках прыжка (см. рис. 3), когда корпус лыжника находился на относительно большом расстоянии от лыж, необходимо было рассматривать отдельно угол атаки корпуса, ног, рук и лыж [1], но при современных техниках и особенно при так называемом V-стиле, когда прыгун раздвигает лыжи и ложится между ними, становясь как бы треугольным крылом, можно приближенно считать, что лыжник и лыжи находятся в одной плоскости и рассматривать один угол атаки - угол атаки всей системы в целом.

Вернемся к началу этой главы. Для силы лобового сопротивления (2) и подъемной силы (3) существуют и другие выражения [6,7]:

, (9)

, (10)

где

- плотность воздуха, - коэффициент силы лобового сопротивления,

- коэффициент подъемной силы, - площадь миделя (площадь сечения системы прыгун-лыжи в плоскости, перпендикулярной набегающему потоку воздуха). Если считать, что лыжник и лыжи находятся в одной плоскости, то площадь миделя при заданном угле атаки определяется следующим образом: , где - площадь миделя при угле атаки 900. Угол атаки складывается из угла между горизонталью и скоростью и угла между горизонталью и лыжами (рис. 4).

Система дифференциальных уравнений (7) с аэродинамическими коэффициентами, вычисляемыми в каждый момент времени по формулам (14), (15), образует замкнутую систему уравнений. Если к ней добавить начальные условия (8), данная задача будет являться задачей Коши.

В заключение приводится сравнение реальных аэродинамических коэффициентов прыгунов 60-х и нашей оценки. Криаая А на рис. 6 изображает полученную нами зависимость между коэффициентом подъемной силы и коэффициентом лобового сопротивления, а кривая В - аналогичную зависимость, полученную из экспериментальных зависимостей аэродинамических коэффициентов от угла атаки [1]. Видно, что вид зависимости коэффициентов друг от друга слабо отличается, и коэффициент подъемной силы в нашей работе выше, чем в

Рис. 6. Зависимость коэффициента подъемной силы от коэффициента сопротивления с углом атаки в качестве параметра (кривая А - наша оценка, кривая В - эксперименты в аэродинамической трубе с моделями прыгунов, использующих старую технику прыжка).

Рис. 7. Зависимость коэффициентов силы лобового сопротивления и подъемной силы от угла атаки.

экспериментах тридцатилетней давности. Это хорошо согласуется с тем фактом, что за прошедшие годы прыгуны научились развивать большую подъемную силу. Также если сравнить полученные нами графики зависимости аэродинамических коэффициентов от угла атаки (рис. 7) с аналогичными графиками в [1] на страницах 10-11, 13-14 и 15-16, видно, что вид зависимости сохранился.

- сила лобового сопротивления.

Рис. 3. Система координат и основные силы, действующие на прыгуна в полете.

Сила лобового сопротивления направлена по касательной к траектории противоположно скорости и пропорциональна квадрату модуля скорости:

, (2)

а подъемная сила направлена по нормали к траектории и по модулю равна:

, (3)

где коэффициент

[6]. Коэффициент определяется предельной скоростью системы лыжник-лыжи :

. (4)

Предельная скорость - это скорость установившегося свободного падения тела в воздухе.

Спроецировав (1) на оси координат, путем несложных преобразований приходим к дифференциальным уравнениям движения:

(5)