Барицентрические координаты (стр. 2 из 3)
Вместо «объединения» можно употреблять выражение «сумма».
Если материальная точка Сº(С, с) является объединением двух других материальных точек Aº(A, a) и Bº(B, b), то мы будем это записывать так:
(A, a) + (B, b) = (C, c)
или, короче,
A + B = C.
Мы не будем исключать и тот случай, когда две материальные точки имеют один и тот же носитель. В этом случае, естественно, будем считать носителем объединения их общий носитель. Таким образом, (А, а) + (А, b) = (A, a+b).
У нас возникает своеобразное исчисление, своеобразная алгебра. В этой алгебре имеет место переместительный закон: A + B = B + A. Это следует из самого определения центра тяжести двух материальных точек. Имеет место также сочетательный закон:
(A1 + A2) + A3 = A1 + (A2 + A3),
или, иначе,
[(A1, m1) + (A2, m2)] + (A3, m3) = (A1, m1) + [(A2, m2) + (A3, m3)].
Подробнее: Найдём ли мы сначала объединение A12двух материальных точек А1 и А2 и затем найдём объединение этой материальной точки А12с третьей материальной точкой А3, или сначала найдём объединение А23 материальных точек А2 и А3, а затем найдём объединение материальных точек А1 и А23, в обоих случаях мы придём к одному и тому же результату, к одной и той же материальной точке.
Понятно, что смысл этого утверждения состоит в том, что центр тяжести трёх материальных точек не зависит от порядка, в котором объединяются эти точки.
В наших рассуждениях «материальная точка» (A, m) выступала как комплекс, состоящий из некоторой геометрической точки А и некоторого положительного числа т. Это число т мы до сих пор называли массой. Однако его можно было бы назвать и каким-либо другим словом, скажем, «весом». Все наши предыдущие рассуждения останутся, конечно, в силе, если заменить слово «масса» словом «вес». Мы бы в таком случае уже не говорили, например, «рассмотрим материальную точку (А, т) с массойт», а сказали бы: « рассмотрим материальную точку (А, т) с весомт».
До сих пор мы наглядно представляли материальную точку (А, т) в виде материального шарика, размерами которого можно пренебречь, имеющего массу т. Но с таким же успехом мы могли бы наглядно представить ту же материальную точку в виде такого же шарика с весом т.
Мы далее рассматривали центр тяжести двух материальных точек вида (A, a) и (B, b) и определяли его по правилу рычага. Если мы хотим этот центр тяжести наглядно представить в виде центра тяжести двух шариков, помещённых в точках А и В и весящих соответственно а и bединиц, то нужно сделать несколько оговорок (которые, впрочем, само собой подразумеваются). Во всяком случае эти шарики должны быть на небольшом расстоянии друг от друга, настолько небольшом, чтобы можно было без чувствительной погрешности считать, что при свободном падении они будут перемещаться параллельно и с одним и тем же ускорением. Кроме того, если шарики из различных материалов, то важно, чтобы удельным весом газа или жидкости, заполняющей окружающую их среду, возможно было пренебречь. Такие условия практически будут соблюдены, например, если мы не выйдем за пределы, скажем, комнаты или даже города.
До сих пор, рассматривая материальную точку, то есть пару вида (А, т),мы всегда полагали, что её «масса» (или «вес») — положительное число. Для решения некоторых геометрических задач весьма полезно рассмотреть и такой случай, когда это число т может быть произвольным действительным числом. Такую пару мы, сохраняя старую терминологию, будем по-прежнему называть материальной точкой, а для числа т сохраним старое название «масса» (или «вес»). Как же себе наглядно представить «материальную точку» с отрицательной «массой»?
Приведём одну конкретную физическую картину, которая позволит читателю наглядно представить материальные точки с произвольными вещественными «массами».
Пусть имеется какой-то бассейн, заполненный водой. Пусть шарик, который висит в воздухе (точнее, в пустоте) р единиц (скажем, р грамм), помещён в какую-то точку А внутри этого бассейна.
Рассмотрим сначала случай, когда удельный вес шарика больше 1 (например, когда шарик железный). Понятно, что шарик пойдёт в этом случае ко дну. Если под водой взвесить этот шарик (скажем, с помощью пружинных весов), то весы покажут меньше, чем р единиц. Нетрудно, если будет необходимость, узнать, сколько будет весить шарик под водой. Пусть удельный вес шарика равен d, а объём V. Тогда V=p/d.Считая удельный вес воды равным 1, найдём что вес воды в объёме, занимаемом шариком, равен (p/d)×1=p/d. В силу закона Архимеда вес т шарика под водой (его «подводный вес») определяется по такой формуле:
(*)Понятно, что т — подводный вес шарика — это результирующая сила, которая получается от сложения двух сил, действующих на шарик: силы тяжести и выталкивающей силы воды.
Обратим внимание на то, что в рассматриваемом случае (при d>1) m>0 и эта сила направлена вниз. Пусть теперь удельный вес шарика меньше 1 (например, когда шарик сделан из пробки). В этом случае шарик будет выталкиваться из воды («вверх»). Результирующая сила m, под действием которой шарик будет выталкиваться вверх, будет в соответствии с законом Архимеда равна по-прежнему
,но теперь это выражение отрицательно (ибо d<1) и, следовательно, сила направлена вверх.
Пусть, наконец, d=1, то есть удельный вес шарика равен удельному весу воды. Такой шарик можно себе представить изготовленным из дерева и содержащим металлическую сердцевину (причём металл и дерево должны, понятно, быть взяты во вполне определённом отношении). Можно его себе представить изготовленным также из специальной пластмассы. Его вес в воде по-прежнему определяется по (*), а так как d=1, то т=0, то есть такой шарик в воде невесом. При любом положении точки А в воде он останется в покое.
Таким образом, при любом d (d>0) выражение (*) характеризует величину результирующей силы, которая действует на шарик; она направлена «вниз» при т>0 (т.е. при d>1) и «вверх» при т<0 (т.е. при d<1). При т>0 мы эту силу назвали «подводным весом шарика». То же название мы сохраним и при т£0. Таким образом, подводный вес шарика может выражаться как положительным, так и отрицательным числом или нулём.
Перейдём теперь к наглядному истолкованию «материальных точек». Материальную точку (А, т) при любом т (положительном, отрицательном или равном нулю) мы можем наглядно представлять в виде шарика, размерами которого можно пренебречь, помещённого в точке А и имеющего подводный вес т.
Значит, то число т, которое мы условились называть «массой» материальной точки, мы истолковываем, как «подводный вес шарика». При т>0 мы материальную точку (А, т) наглядно представляем в виде шарика, тонущего в воде (например, железного). При т<0 соответственно, всплывающего на поверхность воды (например, пробкового), а при т=0 — из пластмассы — с таким же удельным весом, что и у воды. В воде он будет невесомым. Будучи помещён в какой-либо точке, он под действием силы тяжести и выталкивающей силы воды останется на месте.
Если будет идти речь о двух материальных точках, то мы их можем себе наглядно представлять нанизанными на тонком прямолинейном стержне, изготовленном из той же «невесомой» (в воде) пластмассы, о которой мы говорили выше. Ниже мы будем говорить о центре тяжести двух материальных точек. Практически этот центр тяжести можно наглядно представить как точку, в которой нужно подпереть или за которую нужно подвесить невесомый (в воде) стержень для того, чтобы он вместе с нанизанными на нём «материальными точками» оказался в безразличном равновесии.
Всегда ли найдётся такая точка на этом стержне между этими двумя «материальными точками»? Не может ли она оказаться вне отрезка, соединяющего данные материальные точки? Не может ли случиться, что такой точки вовсе нет? Это мы выясним ниже.
Аналогичным образом можно себе представить центр тяжести любого числа материальных точек.
Встречающееся ниже понятие «объединение нескольких материальных точек» можно наглядно истолковать как равнодействующую подводных весов всех тех шариков, которые наглядно изображают эти материальные точки.
Иногда полезно дать более широкое наглядное толкование понятия материальной точки с произвольной вещественной «массой».