Барицентрические координаты (стр. 3 из 3)

A B C D

рис. 5

Сделаем одно предварительное замечание. На каждой прямой мы можем выбрать положительное направление и единицу масштаба. Если это уже сделано, то прямую иногда называют осью.

Каждый отрезок (скажем, АВ) можно рассматривать как направленный, причём сначала мы называем начало отрезка (А), а затем — его конец (В); направление отрезка — от А к В. Если отрезок лежит на оси (или параллелен ей), то его направление может:

1) совпадать с направлением оси;

2) быть противоположным направлением оси.

В первом случае мы величиной отрезка называем его длину; во втором случае величиной отрезка мы называем его длину, взятую со знаком минус (-).

Таким образом, величина отрезка, лежащего на какой-нибудь оси, или параллельного оси — это его длина, взятая со знаком плюс или минус, в зависимости от того, будут ли направление отрезка и оси одинаковы или противоположны. Величину отрезка АВ будем обозначать так: АВ.

В нашем примере (рис. 5) АВ=3, DC= -2, ВА= -3. Вообще АВ= -ВА.

Вернёмся теперь к вопросу о возможном физическом истолковании материальных точек с произвольными вещественными массами.

Мы будем представлять, что в пространстве произвольным образом выбрана какая-либо ось l. Материальную точку (А, т) можно наглядно истолковать как силу, параллельную оси lи приложенную к точке А.

Число т («масса») характеризует абсолютную величину (или, как говорят иногда, «напряжение») и направление этой силы: сила и ось одинаково направлены, если т>0, и противоположно направлены, если т<0; по абсолютной величине сила равна ½т½ (единицам силы). Если т=0, то сила равна нулю. Материальную точку вида (А, 0) можно назвать «незагруженной точкой» или «нулевой силой».

А С

В

рис. 6

Когда будем ниже говорить о «центре тяжести нескольких материальных точек», то его можно себе наглядно представлять как центр параллельных сил, а «объединение нескольких материальных точек» — как равнодействующую нескольких параллельных сил, приложенную в центре параллельных сил.

Для геометрических приложений важно, что почти всё основное, что мы говорили относительно материальных точек с положительными массами, возможно обобщить на случай материальных точек с произвольными вещественными массами.

Понятие центра тяжести двух материальных точек (с произвольными вещественными массами) можно ввести так.

Центром тяжести двух материальных точек (А, а) и (B, b) (рис. 6) называется такая точка С, лежащая на оси АВ (положительное направление от А к В), которая удовлетворяет условию: а×АС=b×СВ.

А

В С

рис. 7

Центр тяжести С двух материальных точек (А, а) и (B, b)будет лежать между А и В, лишь если «массы» а и b одного знака. Если а и b разных знаков, то С вне отрезка АВ (рис. 7).

Лишь в одном случае центр тяжести материальных точек (А, а) и (B, b) с различными носителями (А¹В) не существует, — именно, когда массы их противоположны по знаку, но не равны по абсолютной величине (то есть, если а= -b ¹ 0). В связи с этим мы будем называть две материальные точки вида (А, а) и (В, -а) (А¹В, а¹0) механической парой.

Этот случай можно себе представить как предельный для того случая, когда а¹-b, но а® -b. Если а¹-b, а¹0, b¹0, то можно написать

, т.е. . Если а ® -b, то а +b® 0 и, следовательно, АС ®¥, то есть точка С неограниченно удаляется вдоль прямой АВ. Поэтому иногда говорят, что если a = -b, то центр тяжести двух материальных точек (А, а) и (B, b)«лежит в бесконечно удалённой точке прямой АВ».

Оставаясь здесь в рамках элементарной геометрии, мы будем эту фразу рассматривать как образное выражение того, что центра тяжести в данном случае нет.

Если одна из двух материальных точек является незагруженной, а “масса” другой материальной точки отлична от нуля, то их центр тяжести совпадает с носителем загруженной точки. В связи с этим имеет смысл все незагруженные точки считать равными, то есть считать, что при любых АиВ( А, 0) ºº (В, 0).

Задача о нахождении центров тяжести двух незагруженных точек является неопределенной: существует бесконечно много точек, которые можно рассматривать в качестве центров тяжестей этих двух точек. Мы не будем останавливаться на рассмотрении этого случая.

Идея барицентрических координат.

Выберем на плоскости произвольный треугольник АВС (рис. 8), который в дальнейшем назовем координатным, или базисным треугольником Мебиуса. Пусть р¹0и (Р, р)¾ произвольная материальная точка, лежащая в плоскости этого треугольника. Тогда возможно подобрать для точек А, В, С такие массы а, b, с (не обязательно положительные), чтобы объединением трех материальных точек (А, а), (В, b) и (С, с) служила точка (Р, р). Это можно себе представить следующим образом.

Ясно, что не может быть одновременно РА½½ ВС, РВ½½ СА, РС½½ АВ. Пусть, для определённости, РА и ВС не параллельны. Соединим Р с А и отметим точку А₁, в которой АР встречает прямую ВС. Подберём три действительных числа а, b, cтак, чтобы

b×BA₁ = c×A₁C,

a×AP = (b + c)×PA₁,

a + b + c = p.

Это всегда возможно сделать. Тогда

(P, p) = (A, a) + (B, b) + (C, c).

Обратно, если возьмём три произвольных действительных числа a, b, c, причём a + b + c ¹ 0, то существует вполне определённая материальная точка (Р, р) такая, что (Р, р) = (A, a) + (B, b) + (C, c).

Таким образом, каждую материальную точку Рº(Р, р) на плоскости можно вполне охарактеризовать тремя числами, а именно тремя массами a, b и с, которые надо поместить в вершинах базисного треугольника, чтобы точка Р оказалась объединением трёх образующихся при этом материальных точек (A, a), (B, b) и (C, c). Эти три числа называют барицентрическими координатами материальной точки Р («барицентр» означает «центр тяжести»): а — первая барицентрическая координата, b — вторая, с — третья. Понятно, что те же три числа a, b, cопределяют также положение носителя материальной точки Р. Поэтому эти три числа называют также барицентрическими координатами (геометрической) точки Р.

Таким образом, выражение «барицентрическими координатами точки Р служат числа a, b, c» означает только то, что имеет место равенство

(A, a) + (B, b) + (C, c) = (P, p),

где

p = a + b + c.

Если массы трёх материальных точек увеличить (или уменьшить) в одно и то же число раз, то от этого положение их центра тяжести не изменится. Поэтому барицентрическими координатами геометрической точки Р будут также числа k×a, k×b, k×c, где k — любое действительное число, не равное нулю.

Итак, геометрическая точка Р (в отличие от материальной точки Р) имеет бесконечно много троек барицентрических координат, причём каждая из этих троек может быть получена из какой-либо одной тройки (a, b, c) путём умножения на какую-либо константу k, отличную от нуля.

Если точка Р находится внутри координатного треугольника, то все три её барицентрические координаты одного знака (их можно считать положительными). Если точка Р — на какой-либо стороне координатного треугольника или на её продолжении, то хотя бы одна барицентрическая координата этой точки равна нулю. В остальных случаях две координаты точки Р — одного знака, а третья имеет противоположный знак.

Если точка Р расположена внутри базисного треугольника ABC, то в качестве её барицентрических координат можно принять площади треугольников BPC, CPA и APB.

Применение барицентрических координат позволяет внести одно существенное упрощение в рассуждения, связанное с рассмотрением материальных точек : рассмотрение любых произвольно расположенных материальных точек в любом числе сводится к рассмотрению только таких материальных точек, которые имеют носителями вершины базисного треугольника.