Барицентрические координаты (стр. 1 из 3)

Понятие о центре тяжести было впервые изучено примерно 2200 лет назад греческим геометром Архимедом, величайшим математиком древности. С тех пор это понятие стало одним из важнейших в механике, а также позволило сравнительно просто решать некоторые геометрические задачи.

Именно приложение к геометрии мы и будем рассматривать. Для этого нужно ввести некоторые определения и понятия. Под материальной точкой понимают точку, снабжённую массой. Для наглядности можно себе физически представить материальную точку в виде маленького тяжёлого шарика, размерами которого можно пренебречь. В связи с этим будем часто указывать только числовое значение той или иной физической величины, но не будем отмечать её наименование, считая, что оно само собой подразумевается. Например, выражение: “В D ABCсторона BCравна a, а в вершине A мы помещаем массу a” означает: “Длина стороны BCравна añàíòèìåòðàì, à ìàññà, ïîìåù¸ííàя в вершине A, равна aграмм”.

Если в точке Aпомещена массаm, то образующуюся материальную точку будем обозначать так: (A, m). Иногда, когда это не может вызвать недоразумений, мы будем её обозначать одной буквой A. Массу mиногда называют “нагрузкой точки A”.

Центром тяжести двух материальных точек (A, a)и(B, b)называется такая третья точка C, которая лежит на отрезке AB и удовлетворяет “правилу рычага”: произведение её расстояния CA от точки А на массу а равно произведению её расстоянию СВ от точки В на массу b; таким образом,

.

Это равенство можно записать и так:

,

то есть расстояние от центра тяжести двух материальных точек до этих точек обратно пропорциональны массам, помещённым в этих точках. Центр тяжести будет ближе к точке с большей массой. Из определения следует: если прямая проходит через центр тяжести двух материальных точек и через одну из них, то она пройдёт и через другую.

Центр тяжести двух материальных точек имеет весьма простой механический смысл. Представим себе жёсткий “невесомый” стержень АВ, в концах которого помещены массы аи b (рис. 1). “Невесомость” стержня практически означает, что его масса по сравнению с массами aи bнастолько незначительна, что ею можно пренебречь. Центр тяжести С материальных точек (A, a) и (B, b)— это такая точка, в которой надо подпереть стержень AB, чтобы он был в равновесии.

А 5 С15B

рис. 2

Для дальнейшего полезно также ввести понятие “объединение” или равнодействующей двух материальных точек. Под этим мы будем понимать материальную точку, которая получится, если в центре тяжести двух материальных точек поместить массы обеих точек.

A C BD

рис. 1

Пример. Пусть в концах невесомого тонкого стержня AB (рис. 2), длина которого равна 20 ед. Помещены такие массы: в A — 6 ед., в B — 2 ед. Центром тяжести материальных точек (A, 6) и (B, 2) будет точка C, лежащая на стержне AB, определяемая условием: 6CA=2CB, или CB=3CA. Поэтому АВ=CB+CA=4AC. Отсюда

(ед.). Объединение материальных точек (A, 6) и (B,2)будет материальная точка (С, 8).

Центр тяжести трёх материальных точек находится следующим образом: находят объединение двух из этих материальных точек и затем ищут центр тяжести образовавшейся таким образом четвёртой материальной точки и третей из данных материальных точек.

Вообще, центр тяжести n материальных точек при n>2находится так: надо сначала найти центр тяжести n-1 материальных точек, поместить в этой точке массы всех n-1 точек, затем найти центр тяжести этой вновь образовавшейся материальной точки с n-й материальной точкой.

Если поместить в центре тяжести несколько материальных точек массы всех этих точек, то образующуюся таким образом новую материальную точку назовём объединением данных материальных точек.

Для решения задач важны следующие простейшие свойства центров тяжести.

I. Положение центра тяжести n материальных точек не зависит от порядка, в котором последовательно объединяются эти точки. (Теорема о единственности центра тяжести для системы из nматериальных точек.)

II. Положение центра тяжести системы из n материальных точек не изменится, если заменить несколько материальных точек их объединением. (Теорема о возможности группировки материальных точек.)

При рассмотрении некоторых вопросов механики оказывается выгодным ввести понятие статического момента.

Пусть имеется некоторая точка Cи, кроме того, материальная точка Aº(A, m). Статическим моментом материальной точки А относительно точки С мы назовём произведение m×CA и будем его кратко обозначать так: Мом_СА.

Пользуясь понятием статического момента, определение центра тяжести можно сформулировать так: точка С называется центром тяжести двух материальных точек Aº(A, m₁)и Bº(B, m₂), если С лежит на отрезке АВ и Мом_СА=Мом_СB.

Пусть теперь на некотором луче с началом S (рис. 3) расположена система из некоторых n материальных точек

A₁º(A₁, m₁), A₂º(A₂, m₂), …, A_nº(A_n, m_n).

SA₄ A₃ A₂A₁A_n

рис. 3

Статическим моментом этой системы относительно начала луча Sназывают сумму моментов всех точек системы относительно начала луча,

т.е. сумму K=Мом_SA₁+ Мом_SA₂+ Мом_SA₃+…+ Мом_SA_nили, подробнее,

K=m₁×SA₁+ m₂×SA₂+ m₃×SA₃+…+ m_n×Sa_n.

Пример. Если система состоит из трёх точек (A₁, 1), (A₂, 4), (A₃, 9)и SA₁=1, SA₂=2, SA₃=3 (рис. 4), то статический момент системы равен

K=1×1 + 4×2 + 9×3 = 36.

Понятно, что в системе SGC момент будет иметь размерность г×см. Но мы ранее договорились, что размерность будем каждый раз подразумевать, но нигде не указывать.

SA₁ А₂A₃

рис. 4

В наших рассуждениях основными объектами были «материальные точки». С точки зрения математики материальная точка — это комплекс, состоящий из геометрической точки и некоторого (положительного) числа.

В математике не раз приходится сталкиваться с таким явлением: комплекс из двух каких-то математических объектов рассматривают как некоторый новый объект, который затем уже подвергается специальному изучению. Так, например, в курсе алгебры вводится понятие комплексного числа как комплекса (пары) двух действительных чисел.

В строгих курсах геометрии таким образом вводится, например, понятие отрезка как комплекса (пары) двух точек; понятие угла может быть введено сходным образом: угол можно рассматривать как комплекс двух лучей с общим началом.

Если имеется у нас какая-либо материальная точка Аº(A, m), то мы (геометрическую) точку A будем иногда называть носителем или аффиксом этой материальной точки, а число mбудем по-прежнему называть массой этой материальной точки.

Равенству вида (A, a)º(B, b)мы придаём такой смысл: две материальные точки имеют один и тот же носитель (AºB) и равные массы (aºb).

Решение почти всех ранее рассмотренных задач опиралось на то, что мы «объединяли некоторые материальные точки в их центре тяжести»; точнее, заменяли некоторые материальные точки их объединением. При этом под объединением двух материальных точек (A, a)и (B, b)мы понимали некоторую новую материальную точку (С, a+b), где С — центр тяжести двух данных материальных точек. Можно было бы так сказать: объединением двух материальных точек называется такая новая материальная точка, носителем которой является центр тяжести данных материальных точек и масса которых равна сумме масс этих материальных точек.