Формула (*) сохраняется и для областей, имеющих цилиндрическую форму, т. е. ограниченных цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси Оz, а снизу и сверху поверхностями, уравнения которых соответственно
и (рис. 2).Рис.2
Если областью интегрирования служит внутренностьпараллелепипеда с гранями, параллельными координатным плоскостям (рис. 3), то пределы интегрирования постоянны во всех трех .интегралах :
В этом случае интегрирование можно производить в любом порядке, пределы интегрирования будут при этом сохраняться.
Если же в общем случае менять порядок интегрирования ( т.е., скажем, интегрировать сначала по направлению оси Oy, а затем по области плоскости Oxz), то это приведёт к изменению порядка интегрирования в тройном интеграле и к изменению пределов интегрирования по каждой переменной.
Рис.3 Рис.4
А) Пример.
Вычислим тройной интеграл
где
- область, ограниченная координатными плоскостямии плоскостью
(пирамида, изображённая на рис.4).Интегрирование по z совершается от z=0 до
Поэтому, обозначая проекцию области на плоскость Oxy через D, получимРасставим теперь пределы интегрирования по области D - треугольнику, уравнения сторон которого
2. Цилиндрические координаты.
Отнесём область
к системе цилиндрических координат , в которой положение точки M в пространстве определяется полярными координатами ее проекции Р на плоскость Oxy и ее аппликатой (z). Выбирая взаимное расположение осей координат, как указано на рис. 5, установим связь, между декартовыми и цилиндрическими координатами точки М, именно: (*)Рис.5
Разобьем область
начастичные области тремя системами координатныхповерхностей: которыми будут соответственно круговые цилиндрические поверхности, осью которых является ось Оz, полуплоскости, проходящие через ось Оz, и плоскости, параллельные плоскости Оху. Частичными областями служат прямые цилиндры MN (рис. 5). Так как объем цилиндра MN равен площади основания, умноженной на высоту, то для элемента объема получаем выражениеПреобразование тройного интеграла
к цилиндрическим координатам производится совершенно аналогично преобразованию двойного интеграла к полярным. Для этого нужно в выражении подынтегральной функции переменные x, y, z заменить по формулам (*) и взять элемент объёма равнымПолучим
Если, в частности,
то интеграл выражает объём V областиВычисление тройного интеграла в цилиндрических координатах приводится к интегрированиям по r, по
и по z на основании тех же принципов, что и в случае декартовых координат. В частности, если областью интегрирования служит внутренность цилиндра то пределы трехкратного интеграла постоянны и не меняются при перемене порядка интегрирования:3. Сферические координаты.
Отнесём теперь область интегрирования
к системе сферических координат . В этой системе координат положение точки M в пространстве определяется её расстоянием r от начала координат (длина радиуса-вектора точки), углом между радиусом-вектором точки и осью Oz и углом между проекцией радиуса вектора точки на плоскость Oxy и осью Ox (рис. 6). При этом может изменятся то 0 до а - от 0 до .Рис.6
Связь между сферическими и декартовыми координатами легко устанавливается. Из рис.6 имеем
Отсюда
(**)Разобьем область
на частичные области ,тремя системами координатных поверхностей: которыми будутсоответственно сферы с центром в начале координат, полуплоскости, проходящие, через ось Оz, и конусы с вершиной в начале координат и с осями, совпадающими с одной из полуосей Оz. Частичными областями
служат “шестигранники” (рис. 7). Отбросив бесконечно малые высших порядков, будем рассматривать шестигранник MN как прямоугольный параллелепипед с измерениями, равными: по направлению полярного радиуса, по направлению меридиана, по направлению параллели. Для элемента объема мы получимтогда выражениеЗаменив в тройном интеграле
по формулам (**) и взявэлемент объема равным полученному выражению, будемиметьОсобенно удобно применение сферических координат в случае, когда область интегрирование
- шар с центром в начале координат или шаровое кольцо.Например, в последнем случае, если радиус внутреннего шара , а внешнего , пределы интегрирования следует расставить так: