Смекни!
smekni.com

Тройные и кратные интегралы (стр. 2 из 3)

Формула (*) сохраняет­ся и для областей, имею­щих цилиндрическую фор­му, т. е. ограниченных цилиндрической поверхно­стью с образующими, параллельными оси Оz, а сни­зу и сверху поверхностями, уравнения которых соответственно

и
(рис. 2).

Рис.2

Если областью интегрирования служит внутренностьпарал­лелепипеда с гранями, параллельными координатным плоскостям (рис. 3), то пределы интегрирования постоянны во всех трех .интегралах :

В этом случае интегрирование можно производить в любом порядке, пределы интегрирования будут при этом сохраняться.

Если же в общем случае менять порядок интегрирования ( т.е., скажем, интегрировать сначала по направлению оси Oy, а затем по области плоскости Oxz), то это приведёт к изменению порядка интегрирования в тройном интеграле и к изменению пределов интегрирования по каждой переменной.

Рис.3 Рис.4


А) Пример.

Вычислим тройной интеграл

где

- область, ограниченная координатными плоскостями

и плоскостью

(пирамида, изображённая на рис.4).

Интегрирование по z совершается от z=0 до

Поэтому, обозначая проекцию области
на плоскость Oxy через D, получим

Расставим теперь пределы интегрирования по области D - треугольнику, уравнения сторон которого

2. Цилиндрические координаты.

Отнесём область

к системе цилиндрических координат
, в которой положение точки M в пространстве определяется полярными координатами
ее проекции Р на плос­кость Oxy и ее аппликатой (z). Выбирая взаимное распо­ложение осей координат, как указано на рис. 5, уста­новим связь, между декарто­выми и цилиндрическими ко­ординатами точки М, именно:

(*)

Рис.5

Разобьем область

начастичные области
тремя системами координатныхповерхностей:
которыми будут соответственно круговые цилиндрические поверхности, осью кото­рых является ось Оz, полуплоскости, проходящие через ось Оz, и плоскости, параллельные плоскости Оху. Частичными областями
служат прямые цилиндры MN (рис. 5). Так как объем цилиндра MN равен площади основания, умноженной на высоту, то для элемента объема получаем выражение

Преобразование тройного интеграла

к цилиндрическим координатам производится совершенно аналогично преобра­зованию двойного интеграла к полярным. Для этого нужно в вы­ражении подынтегральной функции
переменные x, y, z заменить по формулам (*) и взять элемент объёма равным

Получим

Если, в частности,

то интеграл выражает объём V области

Вычисление тройного интеграла в цилиндрических координатах приводится к интегрированиям по r, по

и по z на основании тех же принципов, что и в случае декартовых координат. В част­ности, если областью интегрирования служит внутренность ци­линдра
то пределы трехкратного интеграла постоянны и не меняются при перемене порядка интегрирования:

3. Сферические координаты.

Отнесём теперь область интегрирования

к системе сферических координат
. В этой системе координат положение точки M в пространстве определяется её расстоянием r от начала координат (длина радиуса-вектора точки), углом
между радиусом-вектором точки и осью Oz и углом
между проекцией радиуса вектора точки на плоскость Oxy и осью Ox (рис. 6). При этом
может изменятся то 0 до
а
- от 0 до
.

Рис.6

Связь между сферическими и декартовыми координатами легко устанавливается. Из рис.6 имеем

Отсюда

(**)

Разобьем область

на частичные области
,тремя системами координатных поверхностей:
которыми будут

соответственно сферы с центром в на­чале координат, полуплоскости, проходящие, через ось Оz, и конусы с вершиной в начале координат и с осями, совпада­ющими с одной из полуосей Оz. Частичными областями

служат “шестигранники” (рис. 7). От­бросив бесконечно малые высших порядков, будем рассматривать шестигранник MN как прямоу­гольный параллелепипед с изме­рениями, равными:
по направ­лению полярного радиуса,
по направлению меридиана,
по направлению параллели. Для элемента объема мы получимтогда выражение

Заменив в тройном интеграле

по формулам (**) и взявэлемент объема равным полученному выражению, будемиметь

Особенно удобно применение сферических координат в случае, когда область интегрирование

- шар с центром в начале коор­динат или шаровое кольцо.Например, в последнем случае, если радиус внутреннего шара
, а внешнего
, пределы интегриро­вания следует расставить так: