Теория Вероятностей (стр. 3 из 7)

Р(Е3|B)=(7/10)·(1/3)/((1/3)·(7/10+5/10+3/10))=(7/10)/(15/10)=7/15 (6.2)

Ответ: Вероятность того, что вынули шар из третьей урны, при условии, что шар оказался черным равна 7/15.

7.Геометрические вероятности.

Как сказано выше, вычисление вероятности на основе несовместимых равновозможных событий по формуле (2.1) называют обычно классическим определением вероятности. Однако применяют и другие способы вычисления вероятностей. Рассмотрим здесь геометрический способ вычисления вероятностей. При этом способе случайные события трактуются, как такие события, которые осуществляются, когда случайная точка попадает в ту или иную область на некоторой прямой или на плоскости или в пространстве. Поясним это подробнее на примере плоскости.

Достоверное событие

представляется некоторой областью

на плоскости. При этом полагается, что случайная точка обязательно попадает в эту область, т.е. обязательно . Невозможное событие представляется пустым множеством точек, т.е. таким множеством точек, которое не содержит ни одной точки. Т.е. случайная точка никак не может оказаться точкой из этого пустого множества. Каждое случайное событие А из рассматриваемой алгебры событий L представляется некоторой областью

, т.е. областью

, которая содержится в области

. Случайное событие А осуществляется тогда и только тогда, когда случайная точка , т.е. тогда и только тогда, когда точка попадает в область

. При такой трактовке объединение событий представляется областью , которая складывается из точек, каждая из которых лежит хотя бы в одной из областей

и

. Пересечение событий представляется областью , которая является общей частью областей

и

. Противоположное событие А* представляется областью , которая является дополнением к области

до области

. См. например фиг.7.1.-7.4.

Фиг.7.1.

Фиг.7.2.

Фиг.7.3.

Фиг.7.4.

Предполагая, что для каждой области

при любом событии А из алгебры событий L можно определить площадь S

этой области полагают вероятность события А равной

Р(А)=S

/S (7.1)

Смысл этого определения состоит в том, что для шансов попадания случайной точки

в ту или иную точку из области

не отдается никакого предпочтения.

Например, пусть область

есть квадрат со стороной единица. Событие А состоит в том, что случайная точка

попадает в четверть круга

с радиусом, равным единице, и вписанного в квадрат

. См. фиг.7.5.

Фиг.7.5.

Тогда по формуле (7.1) получаем

Р(А)=π/4 (7.2)

Аналогичные построения делаются, когда за основу берутся области на прямой или области в пространстве. При этом только в случае прямой площади заменяются суммарными длинами соответствующих отрезков, составляющих

. А в случае пространства вероятности оцениваются через суммарные объемы соответствующих областей, составляющих

.

8.Пример задачи на геометрическую вероятность.

Задача 8.1.

Мария и Иван хотят встретиться в промежутке времени от 0 до 1 часа пополудни. Они люди безалаберные и каждый из них появится на месте встречи в свой случайный момент времени

или соответственно

из отрезка

. Они условились, что каждый пришедший ждет своего товарища в течение 15 минут или до момента времени t=1, если от момента прихода до момента времени t=1 остается меньше 15 минут.

Какова вероятность, что Мария и Иван встретятся?

Решение:

Сделаем следующее построение. Введем прямоугольную систему координат X0Y. Полагаем х=

, y=

. Тогда точка с координатами х и у соответствует приходу Марии в момент х=

и приходу Ивана в момент y= . Достоверному событию соответствует на плоскости ХОУ квадрат

: Событию А, которое осуществляется тогда и только тогда, когда Мария и Иван встретятся соответствует область , которая состоит из точек, лежащих в квадрате

и к тому же удовлетворяющих условию , т.е. : См. фиг.8.1.

Фиг.8.1.

По формуле (7.1) получаем

Р(А)=S

/S

=1–2∙(1/2)∙(3/4)

=1–9/16=7/16 (8.1)

Ответ: Вероятность встречи Марии и Ивана равна 7/16.

9.Случайные величины.

Очень важным в теории вероятностей является понятие случайной величиныx. Это величина, для которой тот факт, что она принимает то или иное значение, является случайным событием. Например, когда компьютеру на одной из версий языка Pascal, дается команда x=random(1000)/1000, то компьютер выдает случайным образом значение случайной величины х, 0≤x≤1. При этом вероятность Р(A) события A={α≤x≤β, 0≤α≤β≤1}определяется равенством