Теория Вероятностей (стр. 4 из 7)

Р(А)=Р(α≤x≤β)=β–α(9.1)

Иначе говоря, здесь как раз вероятность того, что случайная величина х принимает то или иное значение в пределах отрезка {α≤x≤β,0≤α≤β≤1}, определяется геометрически через длину этого отрезка.

Рассмотрим случайную величину х, которая может принять конечное число n различных значений

с вероятностями Р Р

.

Например, если мы бросаем один раз игральную кость, то случайной величиной х будет выпавшее количество очков, т.е.k=6,

, Р

Р

Р

.

10.Математическое ожидание.

Математическим ожиданиемE(x)для случайной величины x, которая может принимать значения x

и только такие значения с вероятностями Р(x

)=Р

, называют число, которое определяется равенством

i=k i=k

E(x)=∑xi·Рi, ∑Рi=1, Рi≥0, i=1,…,k (10.1)

i=1 i=1

Например, в случае с игральной костью математическое ожидание количества очков x, которое выпадет, будет согласно (10.1) числом

E(x)=(1/6)∙(1+2+3+4+5+6)=(1/6)∙21=7/2=

(10.2)

Смысл понятия математического ожидания раскрывается в законе больших чисел. Этот закон проявляется следующим образом. Если сделать подряд очень большое число nнезависимых испытаний при одинаковых условиях, и таких, что каждый раз осуществляется одно из значений рассматриваемой случайной величины х, то с вероятностью очень близкой к единице, то есть практически наверняка и с большой степенью точности будет выполняться приближенное равенство

(x(1)+x(2)+…+x(n))/n ≈ E(x)(10.3)

Здесь x(i)–значение случайной величины x, которое появляется в i-том испытании. Закон больших чисел обоснован теоретически при определенных аксиомах теории вероятностей и многократно подтвержден на практике.

Пусть некоторая случайная величина х* является суммой случайных величин

(10.4)

тогда математическое ожидание E(x*) равно сумме математических ожиданий Е(х

)

(10.5)

11.Дисперсия случайной величины.

Дисперсией D(x) случайной величины х называют число, которое определяется по формуле

D(x)=E(x–E(x))

(11.1)

Поэтому дисперсия D(x)случайной величины х, которая может принимать значения

с вероятностями Р

,…Р

определяется, как числоi=k i=k j=k

D(x)=∑(x

–E(x))

∙P

=∑(x

–

)

∙P

(11.2)

i=1 i=1 j=1

Например, в случае с игральной костью для дисперсии D(x)получаем следующее число

D(x)=

=(1/6)∙((1-7/2)

+(2-7/2)

+(3-7/2)

+(4-7/2)

+(5-7/2)

+(6-7/2)

)=(1/6)∙(25/4+9/4+1/4+1/4+9/4+25/4)=(1/6)∙(35/2)=35/12 (11.3)

Пусть некоторая случайная величина х* является суммой (10.4) случайных величин

. Пусть эти случайные величины независимы. Это означает, что вероятность, с которой может осуществиться то или иное значение случайной величины не зависит от того, какое значение принимают другие случайные величины . Тогда доказывается, что дисперсия случайной величины х* является суммой дисперсии случайных величин

(11.4)

Важно заметить, что если случайные величины не являются независимыми, то дисперсия их суммы не обязательно равна сумме их дисперсий.

12.Закон больших чисел.

В этом разделе приведу аккуратную формулировку закона больших чисел, которая восходит к замечательному математику нашей страны П.Л.Чебышеву. Пусть имеем некоторую случайную величину х. Выберем какое-нибудь положительное число М. Отберем те значения

случайной величины х, для которых выполняется условие

(12.1)

Из выражения для дисперсии (11.2) и из неравенства (12.1) вытекает следующее неравенство

Р Р Р (12.2)

Здесь суммирование в (12.2) выполняется по тем индексам j, для которых выполнено неравенство.

Предположим теперь, что произведено n независимых испытаний. Пусть в i-том испытании осуществляется значение случайной величины

. Пусть математические ожидания и дисперсиивсех этих независимых случайных величин одинаковы. Тогда согласно материалу из разделов 10,11 для суммы

(12.3)

этих случайных величин и из (12.2) получаем следующее неравенство

Р

·Р

(12.4)

Так как случайные величины

независимы, то дисперсия их суммы равна сумме их дисперсий. Кроме того, все дисперсии равны друг другу и все математические ожидания тоже равны друг другу . Поэтому из (12.4) получаем неравенство

Р

(12.5)

Введем число ε=M/n. Тогда из (12.5) получаем неравенство

Р

(12.6)

Отсюда для противоположного события

(12.7)