Теория Вероятностей (стр. 6 из 7)
P(C|A1)∙P(A1)=Р(С
А1) (16.3) Но событие С
А1 происходит тогда и только тогда, когда происходит одно из двух несовместимых событий С2=А2
А3* А1 (16.4) С3=А3
А2* А1 (16.5) То есть имеем
(С
А1)=(А2 А3* А1) 
(А3 А2* А1) (16.6) Р(С
А1)=Р(А2 А3* А1)+Р(А3 А2* А1)=0.5∙0.7∙0.7+0.3∙0.5∙0.7= =0.245+0.105=0.35 (16.7)
Таким образом, согласно (16.2) для искомой условной вероятности Р(A1|C) получим значение
Р(A1|C)=P(C|A1)∙P(A1)/P(C)=0.35/0.455=0.769 (16.8)
Ответ: Вероятность того, что попал первый охотник при условии, что попало в вепря две пули равна 0.769.
17.Решение задач о встрече методом Монте-Карло.
Рассматриваемые в этом разделе задачи являются обобщением задачи 8.1. по встрече из раздела 8.
Задача 17.1.:
Мария, Иван и Петр хотят встретиться в промежутке времени от 0 до 1 часа пополудни. Каждый из них появится на месте встречи в свой случайный момент времени
или соответственно 
или 
из отрезка 
. Каждый пришедший ждет своего товарища в течение 20 минут или до момента времени t=1, если от момента прихода до момента времени t=1 остается меньше 20 минут. Какова вероятность, что они все трое встретятся?
Решение:
Сделаем построение подобное построению из раздела 8. Только теперь построение будет в пространстве. Введем прямоугольную систему координат XYZ. Полагаем х=
,у= ,z= . Тогда точка с координатами х,у и z соответствует приходу Марии в момент времени х= , Ивана – в момент у= иПетра – в момент z= .Достоверному событию Ω соответствует в пространстве XYZ куб 
Событию А, которое осуществляется, если Мария, Иван и Петр все встретятся соответствует тело 
. Это тело состоит из точек, лежащих в кубе 
и к тому же удовлетворяющих условиям|x–y|≤1/3, |y–z|≤1/3, |x–z|≤1/3
(17.1)Поэтому
Р(А)=
(17.2) Здесь
есть объем куба , 
есть объем тела . Вычислить объем тела 
|x–y|≤1/3,|y–z|≤1/3,|x–z|≤1/3(17.3)затруднительно. Вычислим его методом Монте-Карло по схеме Бернулли. При этом будем работать со случайными величинами
, которые принимают значение равное единице, когда точка 
оказывается в теле , и принимают значение равное нулю, когда точка оказывается вне тела . Тогда согласно геометрическому определению вероятности и закону больших чисел (см.разделы 7 и 12) полагаем 
P(A)= 
(17.4)Здесь n – число испытаний по бросанию точки
в куб , m – число попаданий в тело . Равенство (17.4) выполняется с большой точностью и с большой вероятностью, если число испытаний nдостаточно велико.Такие испытания, выполненные на компьютере при n=1000000дали следующий результат
Р(А)=
0.259 (17.5) Ответ: Вероятность Р(А) того, что Мария, Иван и Петр все встретятся равна 0.259.
Задача 17.2.:
Условия задачи 17.2. повторяют условия задачи 17.1. Но вопрос в задаче 17.2. является таким.
Какова вероятность, что встретятся по крайней мере двое из трех?
Решение:
Назовем событием В событие, что встретятся по крайней мере двое из трех. Повторим построения по аналогии с построением для задачи 17.1. Только в случае события В искомая вероятность Р(В) определяется формулой
Р(B)=
m/n (17.6) Здесь
есть объем тела 
, которое определяется условиями 
|x–y|≤1/3) ( 
(17.7)где запятая заменяет логическую связку and.
Объем
тела был вычислен снова на компьютере по схеме Бернулли. Только здесь число mв (17.6) означает число попаданий точки в тело . Испытания при n=1000000 дали следующий результатР(В)=
0.964 (17.8) Ответ: Вероятность Р(В), что встретились по крайней мере двое из трех равна 0.964.
Задача 17.3.:
Условия задачи 17.3. повторяют условия задачи 17.2. Но вопрос в задаче 17.3. является таким.
Какова вероятность, что встретятся двое и только двое из трех?
Решение:
Назовем событием С событие, что встретятся двое и только двое из трех. Повторим построения по аналогии с построением для задачи 17.2. Только в случае события С искомая вероятность Р(С) определяется формулой
Р(С)=
m/n (17.9) Здесь
есть объем тела 
, которое определяется условиями |x–y|≤1/3,|y–z|>1/3,|x-z|>1/3)