Теория Вероятностей (стр. 6 из 7)

P(C|A1)∙P(A1)=Р(С

А1) (16.3)

Но событие С

А1 происходит тогда и только тогда, когда происходит одно из двух несовместимых событий

С2=А2

А3*

А1 (16.4)

С3=А3

А2*

А1 (16.5)

То есть имеем

(С

А1)=(А2

А3*

А1)

(А3

А2*

А1) (16.6)

Р(С

А1)=Р(А2

А3*

А1)+Р(А3

А2*

А1)=0.5∙0.7∙0.7+0.3∙0.5∙0.7=

=0.245+0.105=0.35 (16.7)

Таким образом, согласно (16.2) для искомой условной вероятности Р(A1|C) получим значение

Р(A1|C)=P(C|A1)∙P(A1)/P(C)=0.35/0.455=0.769 (16.8)

Ответ: Вероятность того, что попал первый охотник при условии, что попало в вепря две пули равна 0.769.

17.Решение задач о встрече методом Монте-Карло.

Рассматриваемые в этом разделе задачи являются обобщением задачи 8.1. по встрече из раздела 8.

Задача 17.1.:

Мария, Иван и Петр хотят встретиться в промежутке времени от 0 до 1 часа пополудни. Каждый из них появится на месте встречи в свой случайный момент времени

или соответственно

или

из отрезка

. Каждый пришедший ждет своего товарища в течение 20 минут или до момента времени t=1, если от момента прихода до момента времени t=1 остается меньше 20 минут.

Какова вероятность, что они все трое встретятся?

Решение:

Сделаем построение подобное построению из раздела 8. Только теперь построение будет в пространстве. Введем прямоугольную систему координат XYZ. Полагаем х=

,у=

,z=

. Тогда точка с координатами х,у и z соответствует приходу Марии в момент времени х=

, Ивана – в момент у=

иПетра – в момент z=

.Достоверному событию Ω соответствует в пространстве XYZ куб

Событию А, которое осуществляется, если Мария, Иван и Петр все встретятся соответствует тело . Это тело состоит из точек, лежащих в кубе и к тому же удовлетворяющих условиям

|x–y|≤1/3, |y–z|≤1/3, |x–z|≤1/3

(17.1)

Поэтому

Р(А)=

(17.2)

Здесь

есть объем куба , есть объем тела . Вычислить объем тела

|x–y|≤1/3,|y–z|≤1/3,|x–z|≤1/3(17.3)

затруднительно. Вычислим его методом Монте-Карло по схеме Бернулли. При этом будем работать со случайными величинами

, которые принимают значение равное единице, когда точка оказывается в теле , и принимают значение равное нулю, когда точка оказывается вне тела . Тогда согласно геометрическому определению вероятности и закону больших чисел (см.разделы 7 и 12) полагаем

P(A)=

(17.4)

Здесь n – число испытаний по бросанию точки

в куб , m – число попаданий в тело . Равенство (17.4) выполняется с большой точностью и с большой вероятностью, если число испытаний nдостаточно велико.

Такие испытания, выполненные на компьютере при n=1000000дали следующий результат

Р(А)=

0.259 (17.5)

Ответ: Вероятность Р(А) того, что Мария, Иван и Петр все встретятся равна 0.259.

Задача 17.2.:

Условия задачи 17.2. повторяют условия задачи 17.1. Но вопрос в задаче 17.2. является таким.

Какова вероятность, что встретятся по крайней мере двое из трех?

Решение:

Назовем событием В событие, что встретятся по крайней мере двое из трех. Повторим построения по аналогии с построением для задачи 17.1. Только в случае события В искомая вероятность Р(В) определяется формулой

Р(B)=

m/n (17.6)

Здесь

есть объем тела

, которое определяется условиями

|x–y|≤1/3)

(

(17.7)

где запятая заменяет логическую связку and.

Объем

тела

был вычислен снова на компьютере по схеме Бернулли. Только здесь число mв (17.6) означает число попаданий точки в тело . Испытания при n=1000000 дали следующий результат

Р(В)=

0.964 (17.8)

Ответ: Вероятность Р(В), что встретились по крайней мере двое из трех равна 0.964.

Задача 17.3.:

Условия задачи 17.3. повторяют условия задачи 17.2. Но вопрос в задаче 17.3. является таким.

Какова вероятность, что встретятся двое и только двое из трех?

Решение:

Назовем событием С событие, что встретятся двое и только двое из трех. Повторим построения по аналогии с построением для задачи 17.2. Только в случае события С искомая вероятность Р(С) определяется формулой

Р(С)=

m/n (17.9)

Здесь

есть объем тела

, которое определяется условиями

|x–y|≤1/3,|y–z|>1/3,|x-z|>1/3)