Математическое моделирование в экономике (стр. 2 из 3)

Рассмотрим в качестве примера следующую задачу.

Задача планирования работы предприятия.

Для производства однородных изделий необходимо затратить различные производственные факторы - сырье , рабочую силу, станочный парк, топливо, транспорт и т.д. Обычно имеется несколько отработанных технологических способов производства, причем в этих способах затраты производственных факторов в единицу времени для выпуска изделий различны.

Количество израсходованных производственных факторов и количество изготовляемых изделий зависит от того, сколько времени предприятие будет работать по тому или иному технологическому способу.

Ставиться задача рационального распределения времени работы предприятия по различным технологическим способам, т.е. такого, при котором будет произведено максимальное количество изделий при заданных ограниченных затратах каждого производственного фактора.

Формализуем задачу: Пусть имеется

количество технологических способов производства изделий и производственных факторов.

Введем обозначения:

- количество изделий, выпускаемых в единицу времени при работе по j - му технологическому способу;

- расход i - го производственного фактора в единицу времени при работе по j - му технологическому способу;

- имеющиеся ресурсы i - го производственного фактора;

- планируемое время работы по j - му технологическому способу.

Величина

обозначает общий расход i - го производственного фактора при плане

.

Поскольку ресурсы ограничены величинами

, то возникают естественные условия:

(1)

(2)

Ставится задача отыскания такого распределения времени (оптимального плана)

работы по каждому технологическому способу при котором общий объем продукции был бы максимальным, т.е. определяется максимум линейной функции

В операционных исследованиях эту функцию принято называть целевой функцией или критерием эффективности, вектор

- планом, вектор - оптимальным планом , а множество, определенное условиями (1) - (2) - допустимым или множеством планов.

Еще одним ярким примером применения линейного программирования в экономике является так называемая транспортная задача.

Транспортная задача.

Это задача о наиболее рациональном плане перевозок однородного продукта из пунктов производства в пункты потребления.

Пусть имеется

пунктов производства некоего однородного продукта и пунктов его потребления . В пункте производится единиц, а в пункте потребляется единиц продукта.

Предполагается, что

.

Транспортные издержки, связанные с перевозкой единицы продукта из пункта

в пункт равны .

Суть задачи состоит в составлении оптимального плана перевозок, минимизирующего суммарные транспортные издержки, при реализации которого запросы всех пунктов потребления

_, , были бы удовлетворены за счет производство продукта в пунктах , .

Пусть

- количество продукта, перевозимого из пункта в пункт . Тогда транспортная задача формулируется так: определить значения переменных , ; , минимизирующих транспортные издержки.

при условиях,

(1)

(2)

. (3)

Множество

, удовлетворяющее этим условиям, называется планом перевозок, а его элементы - перевозками.

На основе метода математического моделирования в операционных исследованиях решаются также многие важные задачи, требующие специфических методов решения. К их числу относятся:

1. Задача надежности изделий.

2. Задача замены оборудования.

3. Теория расписаний (так называемая теория календарного планирования).

4. Задача распределения ресурсов.

5. Задача ценообразования.

6. Теория сетевого планирования.

Задача надежности изделий.

Надежность изделий определяется совокупностью показателей. Для каждого из типов изделий существуют рекомендации по выбору показателей надежности.

Для оценки изделий , которые могут находиться в двух возможных состояниях - работоспособном и отказовом, применяются следующие показатели:

- среднее время работы до возникновения отказа (наработка до первого отказа);

- наработка на отказ;

- интенсивность отказов;

- параметр потока отказов;

- среднее время восстановления работоспособного состояния;

- вероятность безотказной работы за время t ;

- коэффициент готовности.

Существуют следующие соотношения между показателями надежности:

;

;

.

Для восстановленных изделий вероятность появления

отказов за время

в случае простейшего потока отказов определяется законом Пуассона:

.

Из него следует, что вероятность отсутствия отказов за время

равна

-