Численное решение модельного уравнения (стр. 1 из 3)

диссипации, конвекции и кинетики

СОДЕРЖАНИЕ

1. Общая постановка задачи

2. Постановка тестовых задач

3. Методика решения тестовых задач

4. Результаты вычислений

Список литературы

Приложения

Приложение 1: Описание программы

Приложение 2: Текст программы

1. ОБЩАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Перенос тепла (или вещества) теплопроводностью (для вещества соответственно диффузией) и конвекцией описывается дифференциальным уравнением параболического типа:

( 1 )

где

температура (или концентрация). Пусть являются некоторыми константами и . Уравнение (1) при указанных выше предположениях называется модельным уравнением диссипации, конвекции и кинетики. Слагаемые правой части имеют следующий физический смысл:

- соответствует переносу тепла теплопроводностью (или вещества диффузией);

- соответствует конвективному переносу;-

- "кинетический член", соответствует источнику, пропорционально-

му температуре или концентрации;

- интенсивность внешних источников или стоков.

В дальнейшем будем рассматривать только тепловую интерпретацию уравнения (1).

Численное решение уравнения (1) будем искать в области

:

( 2 )

при заданных начальных значениях температуры:

( 3 )

и граничных условиях.

Граничные условия описывают режимы теплообмена с внешней средой:

при ;

при .

2. ПОСТАНОВКА ТЕСТОВЫХ ЗАДАЧ

В качестве тестовых задач для температуры

мною были выбраны следующие пять функций:

( 9 )

( 10 )

( 11 )

( 12 )

( 13 )

Для функции (9) имеем:

Для функции (10):

Для функции (11):

Для функции (12):

Для функции (13):

Данные функции тестировались на отрезке по X: [0, 1], по времени: [0, 1], с количеством разбиений по этим отрезкам - 30.

3. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ТЕСТОВЫХ ЗАДАЧ

Данная задача решается с помощью двухслойной неявно конечно-разностной схемы.

Схема реализуется в три этапа.

1 этап: находятся предварительные значения

с помощью 4-х точечной неявной схемы:

( 5 )

2 этап: используется за два шага. Сначала находятся

на полученном слое () с шагом , а затем через . В этом случае используется 4-х точечная неявная разностная схема:

( 6 )

( 7 )

3 этап: окончательные значения

находятся в виде линейной комбинации двух предварительных значений:

( 8 )

Для решения (1) воспользуемся формулами (5) - (8). Данные уравнения представляют трех диагональные матрицы, решаемые методом скалярной прогонки.

В начале нужно преобразовать (5) – (7) к виду:

( 14 )

Тогда (5) примет вид:

Т.е.

;

;

;

.

Формула (6) преобразуется в:

Т.е. ;

;

;

.

Формула (7) преобразуется в:

Т.е.

;

;

;

.

Далее решаем по формулам скалярной прогонки:

( 15 )

( 16 )

Для определения

, и воспользуемся данными граничными условиями, т.е. формулой (4) и функцией . Так если мы берём из формулы (9), то имеем: