Численное решение модельного уравнения (стр. 1 из 3)
диссипации, конвекции и кинетики
СОДЕРЖАНИЕ
1. Общая постановка задачи
2. Постановка тестовых задач
3. Методика решения тестовых задач
4. Результаты вычислений
Список литературы
Приложения
Приложение 1: Описание программы
Приложение 2: Текст программы
1. ОБЩАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Перенос тепла (или вещества) теплопроводностью (для вещества соответственно диффузией) и конвекцией описывается дифференциальным уравнением параболического типа:
( 1 )где
температура (или концентрация). Пусть 
являются некоторыми константами и 
. Уравнение (1) при указанных выше предположениях называется модельным уравнением диссипации, конвекции и кинетики. Слагаемые правой части имеют следующий физический смысл: 
- соответствует переносу тепла теплопроводностью (или вещества диффузией); 
- соответствует конвективному переносу;- 
- "кинетический член", соответствует источнику, пропорционально-му температуре или концентрации;
- интенсивность внешних источников или стоков.В дальнейшем будем рассматривать только тепловую интерпретацию уравнения (1).
Численное решение уравнения (1) будем искать в области
: 
( 2 )при заданных начальных значениях температуры:
( 3 )и граничных условиях.
Граничные условия описывают режимы теплообмена с внешней средой:
при 
;
при 
.2. ПОСТАНОВКА ТЕСТОВЫХ ЗАДАЧ
В качестве тестовых задач для температуры
мною были выбраны следующие пять функций:
( 9 )
( 10 )
( 11 )
( 12 )
( 13 )Для функции (9) имеем:
Для функции (10):
Для функции (11):
Для функции (12):
Для функции (13):
Данные функции тестировались на отрезке по X: [0, 1], по времени: [0, 1], с количеством разбиений по этим отрезкам - 30.
3. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ТЕСТОВЫХ ЗАДАЧ
Данная задача решается с помощью двухслойной неявно конечно-разностной схемы.
Схема реализуется в три этапа.
1 этап: находятся предварительные значения
с помощью 4-х точечной неявной схемы:
( 5 )2 этап: используется за два шага. Сначала находятся
на полученном слое (
) с шагом 
, а затем 
через . В этом случае используется 4-х точечная неявная разностная схема:
( 6 )
( 7 )3 этап: окончательные значения
находятся в виде линейной комбинации двух предварительных значений:
( 8 )Для решения (1) воспользуемся формулами (5) - (8). Данные уравнения представляют трех диагональные матрицы, решаемые методом скалярной прогонки.
В начале нужно преобразовать (5) – (7) к виду:
( 14 )Тогда (5) примет вид:
Т.е.
;
;
;
.Формула (6) преобразуется в:
Т.е. ;
;;
.Формула (7) преобразуется в:
Т.е.
;;;
.Далее решаем по формулам скалярной прогонки:
( 15 )
( 16 )Для определения
, 
и 
воспользуемся данными граничными условиями, т.е. формулой (4) и функцией . Так если мы берём из формулы (9), то имеем: