Ряды (стр. 2 из 4)
Производные высших порядков.
∂z/∂x=φ(x,y); ∂z/∂y=φ(x,y); Вторая производная: ∂φ/∂x=∂2z/∂x2;z``xx здесь фун диф-я посл-но 2раза по х;
∂φ/∂y=∂z/∂x∂y;z``xy;∂φ/∂x=∂z/∂y∂x;z``yx; ∂φ/∂y=∂2z/∂y2;z``yy;
Третья производная: ∂3z/∂x3; ∂3z/∂x2∂y; ∂3z/∂x∂y¶х; ∂3z/∂y∂x2; ∂3z/∂y∂x∂y; ∂3z/∂y2∂x; ∂3z/∂y3.
Производная сложной ф-ии.
z=f(u,v)=F(x;y), u=j(х;у) и v=y(х;у). Если ф-ия f диф-ма по u и v, а u и v диф-ы по x и y, то выполняется след равенство ¶z/¶x=(∂z/∂u)(¶u/¶x)+(∂z/∂v)(¶v/¶x); ¶z/¶y=(∂z/∂u)(¶u/¶y)+(∂z/∂v)(¶v/¶y).
z=f(x;u;v)=F(x)
Полная производная по х:
dz/dx=¶z/¶x+(∂z/∂u)(du/dx)+(∂z/∂v)(dv/dx);
Полная производная по у:
dz/dу=¶z/¶у+(∂z/∂u)(du/dу)+(∂z/∂v)(dv/dу);
Экстремумы фун 2 переменных.
Ф-ия z=f(x,y) имеет максимум (минимум) в точке M0(x0,y0), если f(x0,y0)> f(x,y) {f(x0,y0)<f(x,y)}для всех точек (x,y) достаточно близких к точке (x0,y0)и отличных от неё.
Определение max и min при предположении, что х=х0+Dх и у=у0+Dу, тогда
f(x;y)-f(x0;y0)=f(х0+Dх;у0+Dу)-f(x0;y0)=Df. 1)Если Df<0 при всех достаточно малых приращениях независимых переменных, то фун f(x;y) достигает max в точке М0(х0;у0); 2)Если Df>0 при всех достаточно малых приращениях независимых переменных, то фун f(x;y) достигает min в точке М0(х0;у0);
Необходимое усл экстремум: Если функция z=f(x,y) достигает экстремума при x=x0, y=y0, то каждая частная производная первого порядка от z или обращается в нуль при этих значениях аргументов, или не сущ.
Док-во: Действительно, дадим переменному y определённое значение, а именно y=y0. Тогда ф-ия f(x,y0) будет функцией одного переменного x. Т.к. при x=x0 она имеет экстремум, то следовательно (∂z/∂x) при x=x0,y=y0 или равно нулю или не сущ. Аналогично доказ, что (∂z/∂у) при x=x0, y=y0 или равно нулю или не сущ.
Достаточное усл экстемум: Пусть в нек. Области, содержащей т.M(x0,y0), функция f(x,y) имеет непрерывные частные производные до третьего порядка включительно, пусть, кроме того т.M(x0,y0) является критической точкой функции f(x,y) т.е. ∂f(x0,y0)/∂x=0, ∂f(x0,y0)/∂y=0.
Тогда при x=x0, y=y0:
1)f(x,y) имеет максимум, если
∂2f(x0,y0)/¶x2*∂2f(x0,y0)/¶y2-(∂2f(x0,y0)/∂x∂y)2>0 и ∂2f(x0,y0)/¶x2<0
2)f(x,y) имеет максимум, если
∂2f(x0,y0)/¶x2*∂2f(x0,y0)/¶y2-(∂2f(x0,y0)/∂x∂y)2>0 и ∂2f(x0,y0)/¶x2>0
3)f(x,y) не имеет ни макс. ни мин.
∂2f(x0,y0)/¶x2*∂2 f(x0,y0)/¶y2-(∂2f(x0,y0)/∂x∂y)2<0
4)Если ∂2f(x0,y0)/¶x2*∂2f(x0,y0)/¶y2-(∂2f(x0,y0)/∂x∂y)2=0, то экстремум может быть, а может и не быть.
Неявнозаданная функция и нахождение ее производной.
Задана фун F(x,y,z)=0 наз заданная неявно, если существует z=j (x,y) в некоторой области D что при подстановке получаем тождественно нуль. F(x,y,z)º0. Продифф. по x: F(x,y,z)º0, F¢x=0, ¶F/¶x+(¶F/¶z)*(¶z/¶x) ¶z/¶x=--[(¶F/¶x)/(¶F/¶z)];
Продифф. аналогично по у ¶z/¶y=--[(¶F/¶y)/(¶F/¶z)]
Двойной интеграл.
Рассмотрим в плоскости ОХУ замкнутую область D ограниченную линией L. Пусть в области D задана непрерывная функция z=f(x,y). Разобьем D на n частей(DS1,DS2,DS3…DSn). На каждой площадке возьмем по точке Pi (P1,P2,P3…Pn). f(Pi) – значение функции в заданной точке. Возмем сумму произведений вида: f(Pi)DSi. Vn=nåi=1f(Pi)DSi – это интегральная сумма для функции f(x,y) по обл D.
Опр: Предел limmaxdi®0nåi=1f(Pi)DSiинтегральной суммы nåi=1f(Pi)DSi, если он сущ-ет независимо от способа разбиения обл D на DDi и от выбора точек PiÎDi наз двойным интегралом зад фун z=f(x;y) по обл D.Теорема: Если сущ-ет фун z=f(x;y) непрерывна в заданной обл `D, то сущ-ет предел limmaxdi®0nåi=1f(Pi)DSi
т.е. сущ-ет двойной интеграл для данной фун по данной области. limmaxdi®0nåi=1f(Pi)DSi=óóDf(x;y)dxdy=(или)= =óóDf(x;y)dS/¶
Св-ва:
1)óóD(f1(x,y)+f2(x,y))dxdy=óóDf1(x,y)dxdy+óóDf2(x,y)dxdy
2) óóDa f(x,y)dxdy=aóóD f(x,y)dxdy.
3) Если область D=D1ÈD2, то
óóDf(x,y)=óóD1f(x,y))+óóD2f(x,y).
Док-во: Инегральную сумму по обл D можно представить в виде D1 и D2.
óóDf(Pi)DSi=óóD1f(Pi)DSi +óóD2f(Pi)DSi , где превая сумма содержит слагаемые, соот-е площади обл D1, вторая – соот-е площадкам обл D2. В самом деле, т.к. двойной интеграл не зависит от способа разбиения, то мы производим разбиение области D так, что общая граница областей D1 и D2 яв-ся границей площадок DSi. Переходя в равенство
óóDf(Pi)DSi=óóD1f(Pi)DSi +óóD2f(Pi)DSiк пределу при DSi®0, получаем равенство
óóDf(x,y)=óóD1f(x,y))+óóD2f(x,y).·
4) Если фун f(x,y)=1, то óóD1dxdy=SD
5) Если фун в данной области f(x,y)³(£)0, то интегр от этой фун отриц (полож) не может быть
óóDf(x,y)dxdy³(£)0
6) Если f1(x,y)³f2(x,y), то
óóDf1(x,y)dxdy³óóDf2(x,y)dxdy
7)Теорема о среднем: Двукратный интеграл ID от f(x,y) по области D с площадью S равен произведению площади S на значение функции в некоторой точке P области D.
вóа( j2(x)ój1(x)f(x,y)dy)dx=f(P)*S.
Док-во: Из соот-я
mS£вóа(j2(x)ój1(x)f(x,y)dy)dx=f(P)*S£MS получаем mS£1/S*ID£MS. Число 1/S*ID заключено между наиболь и наимень знач f(x,y) в области D. В силу непрерывности фун f(x,y) принимает в некоторой точке P обл D принимает значение равное 1/S*ID .
Двукратный интеграл
Пусть дана область D такая, что любая прямая параллельная одной из осей пересекает эту область в двух точках. Пусть область D ограничена линиями y=f1(x), y=f2(x), y=a, y=b (a<b, f1(x)<f2(x)). Пусть f(x,y) непрерывна в области D.
Рассмотрим ID=вóаf2(x)óf1(x)f(x,y)dydx=вóаФ(х)dx
-это двукратный интеграл.
Вычисление двойного интеграла есть вычисление двукратного интеграла.
Вычисление двойного интеграла в полярных координатах:
óóDf(x,y)dxdy=½x=pcosj, y=psinj , I=p½=
=óóDf(pcosj;psinj)pdpdj=
=j2ój1 dj p2(j)óp1(j)(pcosj ;psinj)pdp.
Геометрическое приложение двойного интеграла.
Площадь плоской поверхности.
óóD f(x,y)dxdy=SD
2) Объем цилиндроидов. z=f(x,y)>0. По определению область D разбивается на элементарные кусочки DDi; выбрать в этих кусочках точку принадлежащую DDi и найти значение функции в этой точке. DVi=f(xi,yi)*DSi. Сумма
DVi=nåi=1f(xi,yi)*DSi – это объем фигуры состоящей из элементарных параллелепипедов. Основания параллелепипедов заполняют область D.
limmaxdi®0nåi=1f(xi,yi)*DSi=VТесли этот предел сущ-ет, то это V тела (цилиндройда).óó f(x,y)dxdy=Vцил
Площадь поверхности.
Sпов.= óó[Ö1+(dz/dx)2+(dz/dy)2dxdy].
Диф-е ур-я (осн понятия).
Общий вид диф ур F(x;y;y’;у”…уn)=0. Наивысший порядок производ-й в ур-и F(x;y;y’;у”…уn)=0 наз порядковым ур-ем.
Решением ур F(x;y;y’;у”…уn)=0 наз любая фун вида у=j(х), которая будучи подставленная в F(x;y;y’;у”…уn)=0 вместе со своими произ-ми обращает в тождество. F(x;j(х);j(х)’;j(х)”… j(х)n)=0.
Фун вида у=j(х;С1;С2;…Сn) наз общим решением ур F(x;y;y’;у”…уn)=0, если выполняется: 1) эта фун-я яв-ся решением при любых С1;С2;…Сn; 2) для любых начальных усл х0, у0, у’0, уn0 можно найти конкретную совокупность С1 0;С2 0;С3 0;…Сn 0 при которых фун у=j(х;С1 0;С2 0;С3 0;…Сn 0), что эта фун будет удвл начальному условиям.
Соот-е вида j(х;С1;С2;С3;…Сn)=0 полученная при решении ур F(x;y;y’;у”…уn)=0 наз общим интегралом урF(x;y;y’;у”…уn)=0 (т.е. решение ур находиться в неявной форме).
Дифф. ур. 1-го порядка
Общий вид F(x;y;y’)=0 Решением данного ур. наз. любая фун.=j(x), кот. обращает ур. в тождество.
Опр-е: Фун. y=j(x;C) наз-ся общим решением, если она удов.:1)данная фун. яв-ся реш-м при любых C; 2)при любых x0;y0 можно найти такое C0, что фун. y= j(x,C0) удов. начальным усл-ям.
Рав-во вида Ф(x;y;C)=0, неявно задающее общее реш-е, наз-ся общим интегралом дифф. ур-я.
Опр: Частным реш-м наз-ся любая фун. y=j(x;C0), кот. получается из общего реш. y=j(x;C), если в последнем произ. постоянному С придать опред. значение С=С0. Соотн. Ф(x;y;C0)=0 наз-ся в этом случае частным интегралом ур.
Методы интегрирования диф-я уравнений 1 порядка:
1). Ур-е с разделенными переменнымиf1(x)y’=f2(y) f1(x)dy=f2(y)dx, dy/f2(y)=dx/f1(x), ∫dy/f2(y)=∫dx/f1(x) 2).Ур-е с разделяющимися переменнымиf(x;y)y’+j(x;y)=0, f1(x)f2(y)dy+j1(x)j2(y)dx=0 все разделим на j2(y)*f1(x)