Комплексные числа (стр. 3 из 5)

k = 2

Z₃ = 2·( cos(

+ ) + i·sin( + )) = 2·( cos + i·sin ) = 1– ×i

Ответ: Z₁₃ =

; Z₂ = –2

Пример 4:

Z⁴ = 1

Число 1 запишем в тригонометрической форме

1 = 1·( cos(2pk) + i·sin(2pk)), kÎZ

Пусть Z = r×(cosj + i×sinj), тогда данное уравнение запишется в виде:

r⁴×(cos4j + i×sin4j) = cos(2pk) + i·sin(2pk)), kÎZ

4j = 2pk, kÎZ

j =

, kÎZ

r⁴ = 1

r = 1

Z = cos

+ i×sin

k = 0,1,2,3...

k = 0

Z₁ = cos0+ i×sin0 = 1 + 0 = 1

k = 1

Z₂ = cos

+ i×sin = 0 + i = i

k = 2

Z₃ = cosp + i·sinp = –1 + 0 = –1

k = 3

Z₄ = cos

+ i×sin

Ответ: Z₁₃ =

1

Z₂₄ =

i

8.ВОЗВЕДЕНИЕ В СТЕПЕНЬ И ИЗВЛЕЧЕНИЕ КОРНЯ

Из формулы 6 видно, что возведение комплексного числа r·( cosj + i·sinj) в целую положительную степень с натуральным показателем его модуль возводится в степень с тем же показателем, а аргумент умножается на показатель степени.

[ r·(cosj + i·sinj)]ⁿ= rⁿ·( cos nj + i·sin nj)

Число Z называется корнем степени n из числа w ( обозначается

), если Zⁿ =w.

Из данного определения вытекает, что каждое решение уравнения Zⁿ = w является корнем степени n из числа w. Другими словами, для того, чтобы извлечь корень степени n из числа w, достаточно решить уравнение Zⁿ = w. Если w=0, то при любом n уравнение Zⁿ = w имеет только одно решение Z= 0. Если w

0, то и Z 0, а, следовательно, и Z и w можно представить в тригонометрической форме

Z = r·(cosj + i·sinj), w = p·(cosy + i·siny)

Уравнение Zⁿ = w примет вид:

rⁿ·( cos nj + i·sin nj) = p·( cosy + i·siny)

Два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда равны их модули, а аргументы отличаются слагаемыми, кратными 2p. Следовательно, rⁿ = p и nj = y + 2pk, где kÎZ или r =

и j = , где kÎZ.

Итак, все решения могут быть записаны следующим образом:

Z_K=

[cos( ) + i·sin( )], kÎZ (8)

Формулу 8 называют второй формулой Муавра.

Таким образом, если w

0, то существует ровно n корней степени n из числа w: все они содержатся в формуле 8. Все корни степени n из числа w имеют один и тот же модуль , но разные аргументы, отличающиеся слагаемым, кратным числу . Отсюда следует, что комплексные числа, являющиеся корнями степени n из комплексного числа w, соответствует точкам комплексной плоскости, расположенным в вершинах правильного n – угольника, вписанного в окружность радиуса с центром в точке Z = 0.

Символ

не имеет однозначного смысла. Поэтому, употребляя его, следует четко представлять себе, что под этим символом подразумевается. Например, используя запись , следует подумать о том, чтобы было ясно, понимается под этим символом пара комплексных чисел i и –i, или одно, то какое именно.

Уравнения высших степеней

Формула 8 определяет все корни двучленного уравнения степени n. Неизмеримо сложнее обстоит дело в случае общего алгебраического уравнения степени n:

a_n×Zⁿ + a_n–1×Z^n–1 +...+ a₁×Z¹ + a₀ = 0 (9)

Где a_n,..., a₀ – заданные комплексные числа.

В курсе высшей математики доказывается теорема Гаусса: каждое алгебраическое уравнение имеет в множестве комплексных чисел по крайней мере один корень. Эта теорема была доказана немецким математиком Карлом Гауссом в 1779 году.

Опираясь на теорему Гаусса, можно доказать, что левая часть уравнения 9 всегда может быть представлена в виде произведения:

,

Где Z₁, Z₂,..., Z_K – некоторые различные комплексные числа,

а a₁,a₂,...,a_k – натуральные числа, причем:

a₁ + a₂ + ... + a_k = n

Отсюда следует, что числа Z₁, Z₂,..., Z_K являются корнями уравнения 9. При этом говорят, что Z₁ является корнем кратности a_1, Z₂ – корнем кратности a₂ и так далее.

Если условиться считать корень уравнения столько раз, какова его кратность, то можно сформулировать теорему: каждое алгебраическое уравнение степени n имеет в множестве комплексных чисел ровно n корней.

Теорема Гаусса и только что сформулированная теорема дают решения о существовании корней, но ничего не говорят о том, как найти эти корни. Если корни первой и второй степени могут быть легко найдены, то для уравнений третей и четвертой степеней формулы громоздки, а для уравнений степени выше четвертой таких формул вообще не существует. Отсутствие общего метода не мешает отыскивать все корни уравнения. Для решения уравнения с целыми коэффициентами часто оказывается полезной следующая теорема: целые корни любого алгебраического уравнения с целыми коэффициентами являются делителями свободного члена.

Докажем эту теорему:

Пусть Z = k – целый корень уравнения

a_n×Zⁿ + a_n–1×Z^n–1 +...+ a₁×Z¹ + a₀ = 0

с целыми коэффициентами. Тогда

a_n×kⁿ + a_n–1×k^n–1 +...+ a₁×k¹ + a₀ = 0

a₀ = – k(a_n×k^n–1 + a_n–1×k^n–2 +...+ a₁)

Число в скобках, при сделанных предположениях, очевидно, целое, значит k – делитель числа a_0.

9.КВАДРАТНОЕ УРАВНЕНИЕ С КОМПЛЕКСНЫМ НЕИЗВЕСТНЫМ

Рассмотрим уравнение Z² = a, где a – заданное действительное число, Z – неизвестное.

Это уравнение:

имеет один корень, если a = 0.

имеет два действительных корня Z_1,2=

, если a > 0.

не имеет действительных корней, если a < 0. Но имеет два комплексных корня.

Запишем число a в виде a = (– 1)×(– a) = i²×

= i²×( )². Тогда уравнение Z² = a запишется в виде: Z² – i²×( )² = 0

т.е. (Z – i×

)(Z + i× ) = 0

Следовательно, уравнение имеет два корня: Z_1,2 =

i×

Введенное понятие корня из отрицательного числа позволяет записать корни любого квадратного уравнения с действительными коэффициентами

a×Z² + b×Z + c = 0

По известной общей формуле

Z_1,2=

(10)

Итак, при любых действительных a(a

0), b, c корни уравнения можно находить по формуле 10. При это если дискриминант, т.е. подкоренное выражение в формуле 10