Комплексные числа (стр. 5 из 5)

1) w₁ = 1

Z⁶ = 1

1 = 1·( cos(2pk) + i·sin(2pk)), kÎZ

Z = r×(cosj + i×sinj)

r⁶×(cos6j + i×sin6j) = cos(2pk) + i·sin(2pk), kÎZ

r⁶ = 1 6j = 2pk

r = 1 j =

, kÎZ

Z = cos

+ i·sin , kÎZ

k = 0,1,2...

k = 0

Z₁ = cos0+ i×sin0 = 1 + 0 = 1

Z₁ = 1

k = 1

Z₂ = cos

+ i·sin = i = i

Z₂ =

i

k = 2

Z₃ = cos

+ i·sin = – i

Z₃ = –

i

k = 3

Z₄ = cosp + i·sinp = –1 + 0 = –1

Z₄ = –1

k = 4

Z₅ = cos

+ i·sin = – i

Z₅ = –

i

k = 5

Z₆ = cos

+ i·sin = i

Z₆ =

i

Ответ: Z₁ = 1, Z₂ =

i, Z₃ = – i, Z₄ = –1, Z₅ = – i, Z₆ = i

2) w₂ = –1

Z⁶ = –1

–1 = 1·( cos(p + 2pk) + i·sin(p + 2pk)), kÎZ

Пусть Z = r×(cosj + i×sinj), тогда данное уравнение запишется в виде:

r⁶×(cos6j + i×sin6j) = cos(p + 2pk) + i·sin(p + 2pk), kÎZ

r⁶ = 1 6j = p + 2pk

r = 1 j =

, kÎZ

Z = cos(

) + i·sin( ), kÎZ

k = 0,1,2...

k = 0

Z₁ = cos

+ i·sin = i

Z₁ =

i

k = 1

Z₂ = cos(

) + i·sin( ) = 0 + i = i

Z₂ = i

k = 2

Z₃ = cos(

) + i·sin( ) = – i

Z₃ = –

i

k = 3

Z₄ = cos(

) + i·sin( ) = – i

Z₄ = –

i

k = 4

Z₅ = cos(

) + i·sin( ) = 0 – i = – i

Z₅ = – i

k = 5

Z₆ = cos(

) + i·sin( ) = i

Z₆ =

i

Ответ: Z₁ =

i , Z₂ = i, Z₃ = – i , Z₄ = – i, Z₅ = – i, Z₆ = i

3)

Доказать, что сумма двух комплексных чисел не превосходит сумму модулей этих чисел.

1 СПОСОБ:

Пусть Z₁=X+Y×i и Z₂=U+V×i

Доказать что:

Предположим противоположное:

> / т.к. корень существует только из неотрицательного числа, то можно возвести в квадрат обе части неравенства.

X²+2·X·U+U²+Y²+2·Y·V+V² > X²+Y²+U²+V²+2·

2·(X·U+Y·V) > 2·

Если мы предположили верно, то X·U+Y·V > 0, а поэтому возведем в квадрат:

X²·U²+2·XU·Y·V+Y²·V² > X²·U² + X²·V²+Y²·U²+Y²·V²

2·X·Y·V·U > X²·V²+Y²·U²

X²·V²+Y²·U² – 2·X·Y·V·U < 0

(X·V + Y·U)² < 0

Это невозможно, т.к. A²

0, значит полученное нами неравенство неверно.

что и требовалось доказать

2 СПОСОБ:

Пусть Z₁ и Z₂ – два произвольных комплексных числа. Z₁– соответствует точке A, Z₂ – соответствует точке B.

В силу неравенства треугольника

т.е.

Что и требовалось доказать.

[S1]