Случайные функции (стр. 2 из 3)

и вообще

Это — самые простые соотношения в теории случайных процессов.Онимогут применяться для характеристики некоторых видов помех (чисто случайные хаотические помехи).

Для характеристики полезных входных сигналов систем регулирования и следящих систем соотношения практически не могут применяться, так как для этих сигналов ход процесса в последующие моменты времени в какой-то степени зависит от того, что было в предыдущие моменты времени,

Так, например, если речь идет о слежении за самолетом, то он не может как угодно быстро менять свое положение и скорость. Поэтому если он в момент времени t занял положение х1 то этим самым его возможное положение х2 в следующий момент t2 ограничено, т. е. события (x1, t1) и (x2,t2) не будут независимыми. Чем более инерционен изучаемый объект, тем больше эта взаимозависимость, или корреляция. В таких случаях вместо формулынеобходимо записать

где w2,1 1 {x2, t2)dх — условная вероятность того, что случайный процесс пройдет вблизи точки (x2, t2), есди он уже прошел через точку (x1,t2). Следовательно, зная плотности вероятности, можно найти также и условную плотность вероятности

'Кроме того, имеет место следующая связь между основными плотностями вероятности:

так какw (х1, t1) есть плотность вероятности случайной величины(x1,t1) безотносительно к тому, какое потом будет значение (x2, t2), т. е. допускается —оо<х2<+оо. Аналогичным образом любая плотность вероятности низшего порядка всегда может быть получена из высшей, т. е. высшие плотности вероятностей содержат наибольшее количество информации о случайном процессе (о взаимосвязях между возможными значениями случайной величины х в различные моменты времени).

Написанные соотношения справедливы для случайных процессов любых типов. В зависимости же от того, до какого порядка принимаются во внимание плотности вероятности, а также от разных дополнительных гипотез о формах связи между w1,w2,...,wп рассматриваются разные типы случайных процессов в отличие от чисто случайных.

Стационарные случайные процессы

Стационарным случайным процессом называется такой процесс, вероятностные характеристики которого не зависят от времени. Все плотности вероятностей w1, w2, .. ., wn не меняются при любом сдвиге рассматриваемого участка процесса во времени, т. е. при сохранении постоянной разности.

Можно сказать, что стационарный случайный процесс в какой-то мере аналогичен обычным стационарным иди установившимся процессам в автоматических системах.. Например, при рассмотрении обычных установившихся периодических колебаний ничего не изменится, если перенести начало отсчета на какую-нибудь величину. При этом сохранят свои значения такие характеристики, как частота, амплитуда, среднеквадратичное значение и т. п.

В стационарном случайном процессе закон распределения один и тот же для каждого момента времени, т. е- плотность вероятности не зависит от времени: w(х, t) = w(x).

Отсюда получаем x`= соnst b s=const вдоль всего случайного процесса. Следовательно, в стационарном случайном процессе средняя линия, в отличие от общего случая будет прямая х` = соnst, подобно постоянному смещению средней линий обычных периодических колебаний. Рассеяние значений переменной х в стационарном случайном процессе определяемое s=const также будет все время одинаковым, подоено постоянному значению среднеквадратичного отклонения обычных установившихся колебаний от средней линии.

Аналогичным образом и двумерная плотность вероятности также будет одна и та же для одного и того же промежутка

и также для n-мерной плотности вероятности.

Задание всех этих функций распределения плотности определяет случайный процесс. Однако более удобно иметь дело с некоторыми осредненными и характеристиками процесса.

Прежде чем перейти к ним, отметим два важных для практики свойства. 1. Ограничиваясь только стационарными случайными процессами, можно будет определить только установившиеся (стационарные) динамические ошибки автоматических систем при случайных воздействиях. Такой прием применялся и ранее при рассмотрении регулярных воздействий, когда определялись динамические свойства систем регулирования по величине динамических ошибок в установившемся периодическом режиме.

2. Стационарные случайные процессы обладают замечательным свойством, которое известно под названием эргодической гипотезы.

Для стационарного случайного процесса с вероятностью, равной единице (т. е. практически достоверно.

В самом деле, поскольку вероятностные характеристики стационарного случайного процесса течением времени не меняются,то длительное наблюдение случайного процесса на одном объекте (среднее по времени) дает в среднем такую же картину, как и большое число наблюдений, сделанное в один и тот же момент времени на большом числе одинаковых объектов (среднее по множеству).

Для многих случаев существует математическое доказательство этого свойства. Тогда оно сводится к эргодической теореме.

Итак, среднее значение (математическое ожидание) для стационарного процесса будет

Аналогичным образом могут быть записаны моменты более высоких порядков — дисперсия, среднеквадратичное отклонение и т. п.

Эргодическая гипотеза позволяет сильно упрощать все расчеты и эксперименты. Она позволяет для определения х. D,s:, вместо параллельного испытания многих однотипных систем в один и тот же момент времени, пользоваться одной кривой х{t), полученной при испытании одной системы в течение длительного времени.

Таким образом, важное свойство стационарного случайного процесса состоит в том, что отдельная его реализация на бесконечном промежутке времени полностью определяет собой весь случайный процесс со всеми бесчисленными возможными его реализациями. Этим свойством не обладает никакой другой тип случайного процесса.

Корреляционная функция

Начальный корреляционный, момент двух значений случайной функции х (t) и х (t1), взятых в моменты времент t и t1, носит название корреляционной (автокорреляционной) функции. Она может быть найдена из выражения.

где w2 (x,t,x1, t1) — двумерная плотность вероятности.

Иногда под корреляционной функцией понимают центральный корреляционный момент x (t) и x (t1), т.е.

В этом случае корреляционная функция может быть представлена в виде суммы

Корреляционная функция является весьма универсальной характеристикой для случайного процесса. Она определяет зависимость случайной величины в последующий момент времени x(t1) от предшествующего значения х (t) в момент времени t. Это есть мера связи между ними.

Рассмотрим основные свойства корреляционных функций.

1. Из определения корреляционной функции следует свойство симметрии:

2. При t1=t корреляционная функция дает средний квадрат случайной величины, a R0(t,t1)—дисперсию:

3. Можно показать, что прибавление к случайным величинам произвольных неслучайных величин не меняет их корреляционных моментов и дисперсии. Поэтому корреляционная функция R0 (t,t1) не изменится, если к случайной функции добавить произвольную неслучайную функцию. Это свойство не относится к функции R (t, t1), так как добавление неслучайных величин к случайным изменяет начальные моменты. В этом случае корреляционная функция будет равна сумме корреляционных функций случайной и неслучайной функций.