Комплексные числа в планиметрии (стр. 2 из 10)

a+c = b+d (5)

является необходимым и достаточным условием того, чтобы четырехугольник ABCD был параллелограммом.

Задача 1. Точки М и N — середины диагоналей АС и BD четырехугольника ABCD.(Рис.1)

Доказать, что |AB|²+|BC|²+|CD|²+|DA|² = |AC|²+|BD|²+4|MN|².

Решение. Пусть точкам A, В, С, D, М, N соответствуют комплексные числа а, b, с, d, т, п.

Так как m =

и n =

, то

|AB|²+|BC|²+|CD|²+|DA|²

|AC|²+|BD|²+4|MN|²

Равенство доказано.

Задача 2. Доказать, что если в плоскости параллелограмма ABCD существует такая точка М, что |MA|²+|MC|²=|MB|²+|MD|², тo ABCD - прямоугольник. (Рис.2)

Решение. Если за начальную точку принять центр параллелограмма ABCD, то при принятых ранее обозначениях с= -a, d= -b, и поэтому данное в условии равенство будет эквивалентно равенству

, которое означает, что диагонали параллелограмма равны, т. е. он прямоугольник.

Задача 3. Доказать, что сумма квадратов диагоналей AC, BD четырехугольника ABCD равна удвоенной сумме квадратов отрезков MN, PQ, соединяющих середины противоположных сторон . (Рис.3)

B B C

N M MЬ

A D A D

Рис. 1 Рис. 2

Решение. Требуется доказать:

Запишем левую часть равенства в комплексной форме:

. Воспользовавшись (4a), находим комплексное равенство правой части и непосредственным подсчетом убеждаемся, что она равна левой.

Q D

Рис. 3

Задача 4. Доказать, что сумма квадратов медиан BM, AN, CP треугольника ABC равна

суммы квадратов его сторон. (Рис.4)

Решение. Требуется доказать:

Запишем левую часть, воспользовавшись формулами (2) и (4а), и убедимся в том, что она равна правой.

Задача 5.Доказать, что расстояние от вершины С треугольника АВС до точки D, симметричной центру описанной окружности относительно прямой АВ, вычисляется по формуле |CD|²=R²+|AC|²+|BC|²-|AB|², где R -радиус описанной окружности. (Рис.5)

Решение. Точка M является серединой АВ, так как центр описанной окружности лежит на пересечении серединных перпендикуляров.

Точка М - середина ОD (по условию).

Тогда,

. Воспользуемся этим равенством, формулами (2) и (4а) и убедимся в справедливости |CD|²=R²+|AC|²+|BC|²-|AB|².

B B

A M C

Рис. 4 Рис. 5

Параллельность и перпендикулярность. Коллинеарность трех точек

ОПР:Пусть на плоскости комплексных чисел даны точки А(а) и B(b). Векторы

сонаправлены тогда и только тогда, когда arga = argb, т. е. при arg а - argb=arg
=0 (при вычитании комплексных чисел, из аргумента делимого вычитается аргумент делителя!).

Очевидно также, что эти векторы направлены противоположно в том и только в том случае, если arg a - arg b=arg

Комплексные числа с аргументами 0,

являются действительными. ТЕОРЕМА(Критерий коллинеарности точек О, А, В): Для того чтобы точки А(а) и В(b) были коллинеарны с начальной точкой О, необходимо и достаточно, чтобы частное

было действительным числом, т. е.

или

(6)

Действительно, так как в этом случае число

действительное (k=
), то критерий (6) эквивалентен такому:

. (7)

Возьмем теперь точки A(а), B(b), C(c), D(d).

ОПР: Векторы

коллинеарны тогда и только тогда, когда точки, определяемые комплексными числами а—b и с—d, коллинеарны с началом О.

Замечание:

1. На основании (6) имеем:

; (8)

2. Если точки А, В, С, D принадлежат единичной окружности

=l,то