Комплексные числа в планиметрии (стр. 4 из 10)

TeopeмaMонжа.Во вписанном в окружность четырехугольнике прямые, проходящие через середины сторон и. каждой диагонали перпендикулярно противоположным сторонам и соответственно другой диагонали, пересекаются в одной точке.Она называется точкой Монжа вписанного четырехугольника.

Доказательство. Серединные перпендикуляры к сторонам четырёхугольника ABCD пересекаются в центре описанной окружности, который примем за начальную точку. Для каждой точки М(z) серединного перпендикуляра к [AB] число

чисто мнимое.

В частности, при z=0 оно равно

. Для каждой точки N(z) прямой, проходящей через середину стороны CD перпендикулярно (AB), число необходимо будет чисто мнимым и обратно. Но для z= оно равно т. е. чисто мнимое. Следовательно, точка Е с комплексной координатой

лежит на указанной прямой. А это выражение симметрично относительно букв а, b, с, d. Поэтому и остальные пять аналогично построенных прямых содержат точку Е.

Решим ещё несколько основных планиметрических задач.

3адача 3.Доказать, что диагонали четырехугольника ABCD, вписанного в окружность, перпендикулярны тогда и только тогда, когда сумма квадратов двух его противоположных сторон равна сумме квадратов двух других противоположных сторон.

Решение. Требуется доказать:

Запишем

используя (15): . Тогда, воспользовавшись формулами (15), (2) и тем, что точки A, B,C, Dпринадлежат окружности , приходим к выводу, что

3адача 4. Доказать, что если средние линии MP, NQ четырехугольника ABCD равны, то его диагонали ACи BD перпендикулярны и обратно.

Решение. Требуется доказать:

.

(a)

так как

, cогласно (4a). Подставим эти выражения в равенства (a) и получим: но это и есть условие того, что (см. 14).

Углы и площади. Критерий принадлежности четырех точек одной окружности

Условимся обозначать символом

положительно ориентированный угол, на который надо повернуть вектор , чтобы он стал сонаправлен

с вектором

. Если и , то точкам Р и Q соответствуют комплексные числа b—а и d—c(рис.7) и

(24)

Эта формула в применении к положительно ориентированному треугольнику АВС дает:

(25)

Если z=r(

,то Отсюда

(26)

Тогда

так как

Итак,

(27)

Аналогично находим:

. (28)

Выведем формулу для площади S положительно ориентированного треугольника АВС:

или

(29)

что можно записать в виде определителя третьего порядка:

(30)

Если треугольник АВС вписан в окружность

, то формула (29) преобразуется к виду

. (31)

Для площади S положительно ориентированного четырехугольника ABCD имеем:

(32)

Если четырехугольник ABCD вписан в окружность zz==l, то (32) принимает вид:

(33)

Три произвольно взятые точки всегда принадлежат либо одной окружности, либо одной прямой. Критерии принадлежности трех точек одной прямой рассмотрены выше.

Докажем КРИТЕРИЙ принадлежности четырех точек одной окружности или прямой.

Возьмем четыре произвольные точки A, В, С, D соответственно с комплексными координатами а, b,c,d. Комплексное число

(34)

называется двойным отношением точек A, В, С, D и обозначается (AB, CD). Порядок точек существен.

Теорема.Для того чтобы, четыре точки лежали на одной прямой или на одной окружности, необходимо и достаточно, чтобы их двойное отношение было действительным числом.

Доказательство. Если точки А, В, С, D коллинеарны, то отношения

и действительные числа (см. условие (10)). Следовательно, в этом случае будет действительным и двойное отношение (34). Если точки А, В, С, D лежат на окружности, то рассмотрим два возможных случая:

1) точки С и D находятся в одной полуплоскости от прямой АВ;

2) точки С и D находятся в различных полуплоскостях от прямой АВ.

В первом случае ориентированные углы ВСА и BDA равны, во втором случае

ВСА+ АDВ= ± , т. е. ВСА- ВСА= ± . В обоих случаях разность равна нулю или ± . Но поскольку согласно (24) эта разность равна