Комплексные числа в планиметрии (стр. 6 из 10)

или

(38)

где

- комплексное число, -коэффициент подобия.

Соотношение (38) есть необходимый и достаточный признак того, что треугольники АВС и

подобны и ориентированы противоположно. Его можно записать в симметричной форме:

(39)

или же так:

(40)

Если

, то треугольники АВС и будут равны (конгруэнтны).

Тогда соотношения (35) и (38) становятся признаками равенства треугольников соответственно одинаковой и противоположной ориентации.

Рассмотренные признаки подобия треугольников позволяют обосновать простой способ построение произведения и частного двух комплексных чисел. Пусть даны точки

с комплексными координатами и требуется построить точку М с координатой z=ab. Тогда, очевидно, . Это равенство говорит о том, что треугольники ОЕА и ОВМ подобны и одинаково ориентированы. Отсюда и вытекает способ построения точки М, соответствующей произведению ab (рис.10).

Обратно: если даны точки М и А соответственно с координатами ab и a, то точка В, соответствующая частному этих чисел строится на основании тех, же подобных треугольников.

Следует обратить внимание на один важный частный случай. Если |а|=1, то точка М будет образом точки В при повороте около нулевой точки на угол

. Если потребовать, чтобы ориентированный треугольник АВС был подобен ориентированному треугольнику BCA, то треугольник АВС необходимо будет правильным. Поэтому из условия (36) получаем необходимое и достаточное условие того, чтобы треугольник АВС был правильным

(41)

или

(42)

Введем в употребление комплексное число

являющееся одним из корней уравнения (Формула для нахождения корней - ) Другие два корня которого равны 1 и . По теореме Виета для кубического уравнения имеем Это легко проверить и непосредственно. Тогда равенство (41) будет эквивалентно такому:

или после умножения первого трехчлена на

:

. (43)

Итак, для того чтобы треугольник АВС был правильным, необходимо и достаточно выполнения хотя бы одного из равенств:

(44)

или же

(45)

Оказывается, первое из этих равенств соответствует только тому случаю, когда треугольник АВС ориентирован положительно, а второе выполняется лишь при отрицательной его ориентации. В самом деле, так как умножению на

отвечает поворот на , то при положительной ориентации треугольника (рис.11), откуда и поэтому

Аналогично проверяется выполнение равенства (45) для отрицательно ориентированного правильного треугольника АВС. Очевидно, одновременно равенства (44) и (45) выполняться не могут.

Если правильный треугольник АВС вписан в окружность

, то при его положительной ориентации и , а при отрицательной ориентации и Поэтому каждое из условий (44) и (45) принимает вид:

(46)

Задача 1. Доказать, что треугольник

, стороны которого принадлежат касательным в вершинах треугольника АВС к его описанной окружности, гомотетичен треугольнику с вершинами в основаниях высот треугольника АВС.

Решение. Принимаем описанную окружность за единичную

Руководствуясь формулами (20) и (19), получаем:

Проверяем выполнимость признака (35):

причем

, т. е. -действительное число. Значит, треугольники и гомотетичны.

3адача 2. Два равных одинаково ориентированных треугольника АВС и

вписаны в одну окружность. Доказать, что треугольник с вершинами в точках пересечения прямых ВС и

, СА и , AB и подобен данным треугольникам.

Решение. Придадим окружности уравнение

. Вершины. треугольника служат образами вершин треугольника АВС при повороте на некоторый угол . Поэтому Если — точки пересечения прямых ВС и СА и АВ и соответственно, то на основании (17) откуда Аналогично

Осталось проверить условие (17):

что делается непосредственной подстановкой.

3адача 3. Доказать, что середины отрезков, соединяющих соответственные вершины двух равных и противоположно ориентированных треугольников, коллинеарны.

Решение. Для доказательства данной задачи воспользуемся:

1) Формулой (38),- необходимое и достаточное условие равенства двух противоположно ориентированных треугольников ABC и

;