Комплексные числа в планиметрии (стр. 8 из 10)

а) единственную точку при

б) прямую при

и ;

в) пустое множество при

и .

Уравнение

(5)

прямой в сопряженных комплексных координатах будем называть приведенным уравнением прямой.

Две прямые. Расстояние от точки до прямой

Пусть прямая т задана приведенным уравнением

. Так как она перпендикулярна вектору , то вектор будет ей параллелен (рис.2). Следовательно, ориентированный угол от оси х до прямой т равен аргументу числа ai:

. (6)

Положительно ориентированный угол

от прямой до прямой равен углу между их направляющими векторами и :

. (7)

Формулы (6) и (7) позволяют находить соответствующие углы с точностью до слагаемого

.

Из формулы (7) вытекает критерий перпендикулярности и критерий параллельности прямых

и . В самом деле, чисто мнимое число. Это значит, что , или

.(8)

При

или получаем:

. (9)

Если прямая

проходит через точку , то и ее уравнение можно написать в виде:

(10)

В силу условия (8) перпендикулярности для прямой, перпендикулярной данной, коэффициентами при, z и

будут соответственно числа а и . Поэтому на основании уравнения (10) получаем уравнение

(11)

прямой, проходящей через точку

перпендикулярно прямой . Решение системы

дает координату

(12)

основания M₁ перпендикуляра, опущенного из точки

на прямую .

Так как расстояние d от точки M₀ этой прямой равно

, то

. (13)

Геометрический смысл, уравнения

Из формулы расстояния между двумя точками получается уравнение окружности по ее центру S (s) и радиусу R :

(14)

Пусть дано уравнение

, (15)

в котором на комплексные коэффициенты а, b, с не накладывается заранее никаких условий. Требуется найти множество точек, координаты которых ему удовлетворяют. С этой целью удобно представить его в эквивалентном виде:

. (16)

Рассмотрим все возможные случаи для коэффициентов а, b, с.

1. Сравнивая уравнение (16) с уравнением (14) окружности, приходим к выводу, что уравнение (16), а значит, и уравнение (15) задают окружность тогда и только тогда, когда

и ab—с - действительное число. Так как в этом случае , то с должно быть действительным числом.

Итак, уравнение

(17)

есть уравнение окружности с центром s=-b и радиусом

.

2. При

и с=ab уравнению (16) удовлетворяет единственная точка s=-b. В частности, этот случай имеет место при а=b=с=0. Соблюдая аналогию, говорят, что уравнением задается окружность с центром s=-b нулевого радиуса.

3. Если

, , но , то - чисто мнимое число. Полагаем , тогда (16) можно записать так:

. (18)

Уравнению (18) не удовлетворяет ни одна точка плоскости, поскольку левая часть неотрицательна, а правая отрицательна при любом значении z. Говорят, что это уравнение есть уравнение окружности мнимого радиуса iRс действительным центром S, имеющим комплексную координатуs=-b.

4. Когда

, но , уравнение (16) противоречиво: левая часть его действительна, а правая нет. В этом случае оно не задает никакого геометрического образа (даже мнимого!).

5. Осталось рассмотреть случай, когда

. Тогда из уравнения (15) вычтем уравнение

, получающееся из (15) переходом к сопряженным комплексным числам. Получаем:

,

откуда

Выполняя эту подстановку в уравнение (15), приводим его к виду

. (19)

При

уравнения (15) и (19) равносильны. В зависимости от того, отличен от нуля или равен нулю дискриминант

квадратного уравнения (19), оно будет определять две различные (действительные!) или две совпавшие точки. При D=0 совпавшие точки имеют комплексную координату

В частности, при c=ab как уравнение (16), так и уравнение (19) дает пару точек z₁=-b и

.