Механизм наследования так же случаен, как и исход бросания монеты или игральной кости. Поэтому можно сказать, что природа иногда “ играет в кости”.
Основные понятия теории вероятности
Теория вероятности, как и любой раздел математики, оперирует определённым кругом понятий. Большинству понятий теории вероятностей даются определение, но некоторые принимаются за первичные, не определяемые, как в геометрии точка, прямая, плоскость. Первичным понятием теории вероятностей является событие. Под событием понимают то, относительно чего после некоторого момента времени можно сказать одно и только одно из двух :
Да, оно произошло.
Нет, оно не произошло.
Например, у меня есть лотерейный билет. После опубликования результатов розыгрыша лотереи интересующее меня событие – выигрыш тысячи рублей либо происходит, либо не происходит. Любое событие происходит вследствие испытания (или опыта). Под испытанием (или опытом) понимают те условия, в результате которых происходит событие. Например, подбрасывание монеты – испытание, а появление на ней “герба” – событие. Событие принято обозначать заглавными латинскими буквами: A,B,C,… . События в материальном мире можно разбить на три категории – достоверные, невозможные и случайные.
Достоверное событие – это такое событие, о котором заранее известно, что оно произойдёт. Его обозначают буквой. Так, достоверным является выпадение не более шести очков при бросании обычной игральной кости, появление белого шара при извлечении из урны, содержащей только белые шары, и т.п.
Невозможное событие – это событие, о котором заранее известно, что оно не произойдёт. Его обозначают буквой . Примерами невозможных событий являются извлечение более четырёх тузов из обычной карточной колоды, появление красного шара из урны, содержащей лишь белые и чёрные шары, и т. п.
Случайное событие – это событие, которое может произойти или не произойти в результате испытания. События А и В называют несовместными, если наступление одного из них исключает возможность наступления другого. Так появление любого возможного числа очков при бросании игральной кости (событие А) несовместно с появлением иного числа (событие В). Выпадение чётного числа очков несовместно с выпадением нечётного числа. Наоборот, выпадение чётного очков (событие А) и числа очков, кратного трём (событие В),не будут несовместными, ибо выпадение шести очков означает наступление и события А,и события В, так что наступление одного из них не исключает наступление другого. С событиями можно совершать операции. Объединением двух событий С=АUВ называется событие С, которое происходит тогда и только тогда, когда происходит хотя бы одно из этих событий А и В. Пересечением двух событий D=AВ называется событие, которое происходит тогда и только тогда, когда происходят события и А и В.
Пусть А – некоторое событие. Тогда противоположным событию А* к событию А называется такое событие, которое происходит тогда и только тогда, когда не происходит событие А. Рассмотрим некоторую совокупность событий А, В,…,L. Эти события принято называть единственно возможными, если в результате каждого испытания хотя бы одно из них наверное наступит. Говорят также, что рассматриваемые события образуют полную группу событий. Так, например, при бросании игральной кости полную группу образуют события, состоящие в выпадении одного, двух, трёх, четырёх, пяти и шести очков.
Одним из важных вопросов теории вероятностей является то, откуда берутся значения вероятностей исходов испытаний, ведь вероятности всех остальных событий мы будем получать, опираясь именно на эти вероятности. Здесь возможны два случая:
а) по каким –либо соображениям симметрии мы считаем все элементарные исходы равновозможными, в этом случае имеем p1=p2=…=pn, а так как p1+p2+…+pn=1, то все pk равны 1/n, pk= /n , 1<=k<=n;
б) вероятности p1,…,pn исходов X1,…,Xnопределены предварительным проведением серии опытов, в этом случае за pkпринимают относительную частоту случаев, в которых произошло элементарное событие Xk (т.е. отношение mk/Mчисла mk таких случаев к общему числу M проведённых испытаний).
Подход а) называется классической схемой теории вероятностей, а подход б) – статистический подход. Например, если после проверки 1000 деталей оказалось, что среди них 3 бракованные, то принимают, что вероятность брака равна 0,003, или же 0,3%.В статистике изучается вопрос: какое число испытаний нужно произвести, чтобы полученные статистическим путём вероятности были достаточно надёжными?
Теперь мы можем перейти к рассмотрению важнейшего понятия вероятности события. Вероятность события А в науке обозначают символом P(А), где P– начальная буква французского слова Probabilite – вероятность, А – слово Accident –случайность, происшествие.
Рассмотрим систему конечного числа событий А1, A2, .... Аn относительно которой сделаем следующие предположения:
1. Эти события попарно несовместны; иначе говоря, для любых двух событий Aiи Аk (i, k = 1, 2, ...., n, i k) появление одного из них исключает появление другого.
2. События A1,A2,...,An единственно возможны, то есть какое-либо одно из них непременно должно наступить.
3. События A1,A2,...,An равновозможны. Это означает, что не существует никаких объективных причин, вследствие которых одно из них могло бы наступить чаще, чем какое-либо другое.
Пусть имеется событие A, которое наступает при появлении некоторых из наших “элементарных” событий A1,A2,...,An и не наступает при появлении других. Мы будем говорить в таком случае, что те из “элементарные” событий Аi, при наступлении которых наступает также событие A, благоприятствуют событию A.
Допустим, что из общего числа п рассматриваемых событийA1,A2,...,An событию А благоприятствует m из них. Тогда вероятностью события A называется отношение числа событий, благоприятствующих событию А, к общему числу всех равновозможных событий. Если, как это принято, обозначить вероятность события A через Р(A), то мы получаем по определению
Р(A)= m/n__
Поясним приведенное нами определение примером. Рассмотрим бросание игральной кости и обозначим черезA1,A2,...,An события, состоящие в выпадении соответственно одного, двух,…, шести очков. Эти события удовлетворяют всем сделанным выше предположениям. Отсюда следует, что
P(A1)=P(A2)=…+P(A6)=1/6
потому что каждому из этих событий благоприятствует только оно само, так что здесь m = 1, а n = 6.
1Если событие А означает появление четного числа очков, то ему благоприятствуют событияA2, А4, А6, состоящие в появлении двух, четырех и шести очков. Поэтому для события А имеем m= 3, так что
Р(А) = 3/6 =1/2.
Пусть событие В состоит в появлении числа очков, кратного трем. Тогда событию В благоприятствуют “элементарные” события А3 и А6, откуда следует, что для события В имеем т = 2. Поэтому
Р (В) =2/6 = 1/3.
Легко заметить, что для любого события А число благоприятствующих событий mудовлетворяет неравенствам 0 < m <n. Поэтому вероятность любого события А подчинена условиям
0<=P(A)>=1
Далее, если обозначить через Е некоторое достоверное событие, то ему, очевидно, должны благоприятствовать все “элементарные” события Аi, так что для него должно быть m =n . Поэтому вероятность достоверного события равна единиц:
Р(Е) =1.
Если, наоборот,U — невозможное событие, то из самого определения следует, что здесь m = 0, так что вероятность невозможного события равна нулю:
P(U)= 0.
Рассмотрим несколько примеров, разъясняющих введенное нами понятие вероятности.
Пример 1. В урне находятся три синих, восемь красных и десять белых шаров одинакового размера и веса, неразличимых наощупь. Шары тщательно перемешаны. Какова вероятность появления синего, красного и белого шаров при одном вынимании шара из урны?
Решение. Так как появление любого шара можно считать равновозможным, то мы имеем всего n=3+8+9=20 элементарных событий. Если через А, В, С обозначить события, состоящие в появлений соответственно синего, красного и белого шаров, а через m1,m2,m3— число благоприятствующих этим событиям случаев, то ясно, что m1=3,m2=8,m3=9. Поэтому
P(A)=3/20=0,15; P(B)=8/20=0,40; P(C)=9/20=0,45.
Пример 2. Одновременно брошены две монеты. Какова вероятность появления m гербов (m = 0, 1,2)?
Решение. Рассмотрим возможные при бросании двух монет исходы. Очевидно, их можно описать схемой
ГГ, ГР, РГ, РР,
где Г означает выпадение герба, а Р — надписи. Таким образом, возможны четыре элементарных события. Поскольку монеты предполагаются однородными и имеющими геометрически правильную форму, то нет никаких оснований предполагать, что одна из сторон какой-либо монеты выпадает чаще других. Поэтому все четыре случая следует считать равновозможными. Но тогда, обозначив через Pm вероятность выпадения m гербов, легко получим: