Разностные аппроксимации (стр. 2 из 5)

u_{x, 0} = (u₁ – u₀)/h = u’(x_1/2) + O(h²), x_1/2 = 0,5h,

a₁ = k_1/2 + O(h²)

получим

Отсюда имеем

Учитывая граничное условие (2), получаем

l_hu(0) = 0,5h [– (ku’)’(0) + d₀u₀ – j₀] + O(h²).

Выражение, стоящее в квадратных скобках, преобразуем, учитывая уравнение (1), к виду

– (ku’)’(0) + d₀u₀ – j₀ = – (ku’)’(0) + q(0)u(0) – f(0) +

+ (d₀ – q(0))u₀ – (f(0) – j₀) = (d₀ – q(0))u₀ – (f(0) – j₀).

Из соотношений

получаем

что и требовалось доказать.

Таким образом, при достаточной гладкости коэффициентов k(x), q(x), f(x) и решения u(x) разностная схема (10) аппроксимирует исходную задачу (2) со вторым порядком по h.

При практическом использовании разностной схемы для нахождения ее коэффициентов не обязательно вычислять интегралы (4), (6) точно. Можно воспользоваться коэффициентами, полученными путем замены этих интегралов квадратурными формулами, имеющими точность O(h²) и выше. Например, в результате применения формулы прямоугольников получим следующие коэффициенты: a_i = k(x_i – 0,5h), d_i = q(x_i), j_i = f(x_i).

Применяя формулу трапеций, получим

Представление коэффициентов разностной схемы в виде интегралов (4), (6) оказывается полезным при исследовании сходимости в случае разрывных функций k(x), q(x), f(x).

2.3. Уравнение для погрешности. Решение y_i = y(x_i) разностной задачи (3), (4) зависит от шага h сетки, y(x_i) = y_h(x_i). По существу, мы имеем семейство решений {y_h(x_i)}, зависящее от параметра h. Говорят, что решение y_h(x) разностной задачи сходится к решению u(x) исходной дифференциальной задачи, если при h®0 погрешность y_h(x_i) – u(x_i), i = 0, 1,…, N, стремится к нулю в некоторой норме. В настоящем параграфе в качестве такой нормы будем брать норму в сеточном пространстве C(w_h), т.е. положим

Говорят, что разностная схема имеет m-й порядок точности (или сходится с порядком m), если

где m>0, M>0 – константы, не зависящие от h.

Выше было установлено, что схема (3), (4) имеет второй порядок аппроксимации. Докажем теперь, что эта схема имеет и второй порядок точности. Для этого прежде всего выпишем уравнение, которому удовлетворяет погрешность z_i = y_i – u(x_i). Поставим y_i = z_i + u(x_i) в уравнения (3), (4). Тогда получим уравнения

(11)

(12)

где обозначено

Функция y_i, входящая в правую часть уравнения (11), называется погрешностью аппроксимации дифференциального уравнения (1) разностным уравнением (3) на решении задачи (1), (2). В п.1 было доказано, что y_i = O(h²) при h®0, i=1, 2,…, N–1. Аналогично, величина n₁ является по определению погрешностью аппроксимации краевого условия (2) разностным краевым условием (4) на решении задачи (1), (2), причем n₁=O(h²). Таким образом, структура уравнений для погрешности (11), (12) та же, что и у разностной схемы (3), (4), отличаются только правые части.

Чтобы доказать сходимость разностной схемы, оценим решение задачи (11), (12) через правые части y_i, n₁, т.е. получим неравенство вида

(13)

с константой M₁, не зависящей от h. Из этого неравенства и будет следовать, что

Отметим, что неравенства вида (13), называемые априорными оценками, нашли широкое применение в теории разностных схем. Поскольку структура для погрешности (11), (12) та же, что и у разностной схемы (3), (4), а отличаются только правые части, то оценка (13) выполняется одновременно с аналогичной оценкой

для разностной схемы (3), (4) при m₂ = 0. Последняя оценка выражает устойчивость решения разностной задачи по правым частям j и m₁.

2.4. Разностные тождества и неравенства. Для того, чтобы доказать неравенство (13), нам потребуются некоторые разностные тождества и неравенства. Будем рассматривать сеточные функции, заданные на сетке (7). Обозначим

Справедливо следующее разностное утверждение:

(y, u_x) = –(u, y_x) + y_Nu_N – y₀u₁. (14)

Действительно,

что и требовалось доказать. Тождество (14) называется формулой суммирования по частям.

Подставляя в (14) вместо u выражение az_x и вместо y функцию z, получаем первую разностную формулу Грина

(15)

Здесь В частности, если z_N = 0 (как в задаче (11), (12)), то получим

(16)

Обозначим

и докажем, что для любой сеточной функции z_i, удовлетворяющей условию z_N = 0, справедливо неравенство

(17)

Для доказательства воспользуемся тождеством

и применим неравенство Коши-Буняковского

Тогда получим

Откуда сразу следует неравенство (17).

2.5. Доказательство сходимости. Возвращаясь к доказательству сходимости схемы (3), (4), получим тождество, которому удовлетворяет погрешность z_i = y_i – u(x_i). Для этого умножим уравнение (11) на hz_i и просуммируем по i от 1 до N–1. Тогда получим

Отсюда, применяя разностную формулу Грина (16), получим

Далее, согласно (12) имеем

следовательно, справедливо тождество

(18)

Из этого тождества и будет сейчас выведено требуемое неравенство вида (13).

Заметим прежде всего, что если

k(x) ³ c₁ > 0, b³ 0, q(x) ³ 0,

то коэффициенты разностной схемы (3), (4) удовлетворяют неравенствам

a_i³ c₁ > 0, b³ 0, d_i³ 0. (19)

Это утверждение сразу следует из явного представления коэффициентов (5), (6).

Воспользовавшись (19), оценим слагаемые, входящие в левую часть тождества (18), следующим образом:

Тогда придем к неравенству

(20)

Оценим сверху правую часть этого неравенства. Будем иметь

Подставляя эту оценку в (20) и учитывая неравенство (17), получим

т.е.

Окончательно