Разностные аппроксимации (стр. 3 из 5)

(21)

Поскольку из неравенства следует,

что погрешность z_i = y_i – u(x_i) также является величиной O(h²) при h®0. Итак, справедливо следующее утверждение.

Пусть k(x) – непрерывно дифференцируемая и q(x), f(x) – непрерывные функции при xÎ[0, l], решение u(x) задачи (1), (2) обладает непрерывными четвертыми производными. Пусть коэффициенты разностной схемы (3), (4) удовлетворяют условиям (8), (9), (19). Тогда решение разностной задачи (3), (4) сходится при h®0 к решению исходной дифференциальной задачи (1), (2) со вторым порядком по h, так что выполняется оценка

где M – постоянная, не зависящая от h.

3. Разностные схемы для уравнения теплопроводности

3.1. Исходная задача. Будем рассматривать следующую первую краевую задачу для уравнения теплопроводности с постоянными коэффициентами. В области {0 < x < 1, 0 < t £ T} требуется найти решение уравнения

(1)

удовлетворяющее начальному условию

u(x, 0) = u₀(x) (2)

и граничным условиям

u(0, t) = m₁(t), u(1, t) = m₂(t). (3)

Здесь u0(x), m₁(t), m₂(t) – заданные функции. Известно, что при определенных предположениях гладкости решение задачи (1)–(3) существует и единственно. В дальнейшем при исследовании аппроксимации разностных схем будем предполагать, что решение u(x, t) обладает необходимым по ходу изложения числом производных по x и по t. Решение задачи (1) – (3) удовлетворяет принципу максимума и тем самым непрерывно зависит от начальных и граничных данных.

3.2. Явная схема. Как всегда, для построения разностной схемы надо прежде всего ввести сетку в области изменения независимых переменных и задать шаблон, т.е. множество точек сетки, участвующих в аппроксимации дифференциального выражения. Введем сетку по переменному x такую же, как в предыдущей главе, т.е.

w_h = {x_i = ih, i = 0, 1,…, N, hN = 1}

и сетку по переменному t с шагом t, которую обозначим

w_t = {t_n = nt, n = 0, 1,…, K, Kt = T}

Точки (x_i, t_n), i = 0, 1,…, N, n = 0, 1,…, K, образуют узлы пространственно-временной сетки w_h,_t = w_h x w_t. Узлы (x_i, t_n), принадлежащие отрезкам I₀ = {0 £ x £ 1, t = 0}, I₁ = {x = 0, 0 £ t £ T}, I₂ = {x = 1, 0 £ t £ T}, называются граничными узлами сетки w_h,_t, а остальные узлы – внутренними. На рисунке граничные узлы обозначены крестиками, а внутренние – кружочками.

Слоем называется множество всех узлов сетки w_h,_t, имеющих одну и ту же временную координату. Так, n-м слоем называется множество узлов

(x₀, t_n), (x₁, t_n),…, (x_N, t_n).

Для функции y(x, t), определенной на сетке w_h,_t, введем обозначения yⁿ_i = y(x_i, t_n),

(4)

Иногда для упрощения записи индексы i и n будем опускать, обозначая

(x_i, t_n+1) (x_i-1, t_n+1) (x_i, t_n+1) (x_i+1, t_n+1)

(x_i-1, t_n) (x_i, t_n) (x_i+1, t_n) (x_i, t_n)

(x_i-1, t_n+1) (x_i, t_n+1) (x_i+1, t_n+1) (x_i, t_n+1)

(x_i-1, t_n) (x_i, t_n) (x_i+1, t_n) (x_i-1, t_n) (x_i, t_n) (x_i+1, t_n)

(x_i, t_n-1)

Чтобы аппроксимировать уравнение (1) в точке (x_i, t_n), введем шаблон, изображенный на рисунке и состоящий из четырех узлов (x_i_±₁, t_n), (x_i, t_n), (x_i, t_n+1). Производную ¶u/¶t заменим в точке (x_i, t_n) разностным отношением yⁿ_{t, i}, а производную ¶²u/¶²x – второй разностной производной yⁿ_{xx, i}. Правую часть f(x, t) заменим приближенно сеточной функцией jⁿ_i, в качестве jⁿ_i можно взять одно из следующих выражений:

В результате получим разносное уравнение

(5)

которое аппроксимирует исходное дифференциальное уравнение в точке (x_i, t_n) с первым порядком по t и вторым порядком по h при условии, что разность jⁿ_i – f(x_i, t_n) имеет тот же порядок малости.

Под разностной схемой понимается совокупность разностных уравнений, аппроксимирующих основное дифференциальное уравнение во всех внутренних узлах сетки и дополнительные (начальные и граничные) условия – в граничных узлах сетки. Разностную схему по аналогии с дифференциальной задачей будем называть также разностной задачей. В данном случае разностная схема имеет вид

(6)

Эта схема представляет собой систему линейных алгебраических уравнений с числом уравнений, равным числу неизвестных. Находить решение такой системы следует по слоям. Решение на нулевом слое задано начальными условиями y⁰_i = u₀(x_i), i = 0, 1,…, N. Если решение yⁿ_i, i = 0, 1,…, N, на слое n уже найдено, то решение y_iⁿ⁺¹ на слое n+1 находится по явной формуле

(7)

а значения доопределяются изграничных

условий. По этой причине схема (6) называется явной разностной схемой. Несколько позже мы познакомимся и с неявными схемами, в которых для нахождения y_iⁿ⁺¹ при заданных y_iⁿ требуется решать систему уравнений.

Погрешность разностной схемы (6) определяется как разность z_iⁿ = y_iⁿ – u(x_i, t_n) между решением задачи (6) и решением исходной задачи (1) – (3). Подставляя в (6) y_iⁿ = z_iⁿ + u(x_i, t_n), получим уравнение для погрешности

(8)

где – погрешность аппроксимации разностной

схемы (6) на решении задачи (1) – (3), y_iⁿ = O(t + h²). Можно оценить решение z_iⁿ уравнения (8) через правую часть y_iⁿ и доказать тем самым сходимость разностной схемы (6) с первым порядком по t и вторым – по h. Однако это исследование мы отложим, а сейчас на примере схемы (6) продемонстрируем один распространенный прием исследования разностных схем с постоянными коэффициентами, называемый методом гармоник. Хотя данный метод не является достаточно обоснованным, в частности не учитывает влияния граничных условий и правых частей, он позволяет легко найти необходимые условия устойчивости и сходимости разностных схем. Покажем, например, что явную схему (6) можно применять лишь при условии t£ 0,5h², означающем, что шаг по времени надо брать достаточно малым.

Рассмотрим уравнение

(9)

т.е. однородное уравнение, соответствующее (5). Будем искать частные решения (9), имеющие вид

y_jⁿ (j) = qⁿe^ijh^j, (10)

где i – мнимая единица, j – любое действительное число и q – число, подлежащее определению. Подставляя (10) в уравнение (9) и сокращая на e^ijh^j, получим

откуда найдем

(11)

Начальные условия соответствующие решениям вида (10) (их называют гармониками), ограничены. Если для некоторого j множитель q станет по модулю больше единицы, то решение вида (10) будет неограниченно возрастать при n®¥. В этом случае разностное уравнение (9) называется неустойчивым, поскольку нарушается непрерывная зависимость его решения от начальных условий. Если же |q| £ 1 для всех действительных j, то все решения вида (10) ограничены при любом n и разностное уравнение (9) называется устойчивым. В случае неустойчивости найти решение разностной задачи (6) по формулам (7) практически невозможно, так как погрешности (например погрешности округления), внесенные в начальный момент времени, будут неограниченно возрастать при увеличении n. Такие разностные схемы называются неустойчивыми.