Разностные аппроксимации (стр. 4 из 5)

Для уравнения (9) неравенство |q| £ 1 выполняется согласно (11) при всех j тогда и только тогда, когда g£ 0,5. Таким образом, использование схемы (6) возможно лишь при выполнении условия t£ 0,5h². Разностные схемы, устойчивые лишь при некотором ограничении на отношение шагов по пространству и по времени, называются условно устойчивыми. Следовательно, схема (6) возможно устойчива, причем условие устойчивости имеет вид t/h²£ 0,5. Условно устойчивые схемы для уравнений параболического типа используются редко, так как они накладывают слишком сильное ограничение на шаг по времени. Действительно, пусть, например, h = 10^-2. Тогда шаг t не должен превосходить 0,5 * 10^-4, и для того чтобы вычислить решение y_jⁿ при t = 1, надо взять число шагов по времени n = t^-1³ 2 * 10⁴, т.е. провести не менее 2 * 10⁴ вычислений по формулам (7).

3.3. Неявные схемы. Чисто неявной разностной схемой для уравнения теплопроводности теплопроводности (схемой с опережением) называется разностная схема, использующая шаблон (x_i, t_n), (x_i±1, t_n+1), (x_i, t_n+1) и имеющая вид

(12)

Здесь jⁿ_i = f(x_i, t_n+1) + O(t + h²). Схема имеет первый порядок аппроксимации по t и второй – по h. Решение системы (12) находится, как и в случае явной схемы, по слоям, начиная с n = 1. Однако, теперь, в отличие от явной схемы, для нахождения yⁱ_n+1 по известным y_iⁿ требуется решить систему уравнений

(13)

где g = t/h², F_iⁿ = y_iⁿ + tj_iⁿ. Эту систему можно решать методом прогонки, так как условия устойчивости прогонки выполнены.

Для исследования устойчивости разностной схемы (12) будем искать частные решения уравнения

имеющие вид (10). Тогда получим

следовательно, |q| £ 1 при любых j, t, h. Таким образом, схема (12) абсолютно устойчива, т.е. устойчива при любых шагах t и h. Абсолютная устойчивость является основным условием неявных схем. Теперь уже не надо брать шаг t слишком малым, можно взять, например, t = h = 10^-2. Величина шагов сетки t, h определяются теперь необходимой точностью расчета, а не соображениями устойчивости.

Шеститочечной симметричной схемой называется разностная схема

(14)

для которой начальные и граничные условия задаются так же, как и в схеме (12). Эта схема использует шеститочечный шаблон, изображенный на рисунке.

Обобщением трех рассмотренных схем является однопараметрическое семейство схем с весами. Зададим произвольный действительный параметр s и определим разностную схему

(15)

При s = 0 получим отсюда явную схему, при s = 1 – чисто неявную схему и при s = 0,5 – симметричную схему (14). Исследуем погрешность аппроксимации схемы (15) на решении исходной задачи (1) – (3). Представим решение задачи (15) в виде y_iⁿ = u(x_i, t_n) + z_iⁿ, где u(x_i, t_n) – точное решение дифференциальной задачи (1) – (3). Тогда для погрешности получим систему уравнений

(16)

i = 1, 2,…, N – 1, n = 0, 1,…, K – 1,

z₀ⁿ⁺¹ = z_Nⁿ⁺¹ = 0, n = 0, 1,…, K – 1, z_i⁰ = 0, i = 0, 1,…, N.

Сеточная функция y_iⁿ, входящая в правую часть уравнения (16) и равная

(17)

называется погрешностью аппроксимации схемы (15) на решении задачи (1) – (3). Получим первые члены разложения функции y_iⁿ по степеням h и t. Будем разлагать все функции, входящие в выражение для y_iⁿ, по формуле Тейлора в точке (x_i, t_n + 0,5t). Учитывая разложения

где

получим

Отсюда, проводя разложение в точке (x_i, t_n+1/2) и обозначая u = u (x_i, t_n+1/2), будем иметь

и, перегруппировывая слагаемые, получим, что

Учитывая уравнение (1) u’’ – u = – fи следствие из него u^IV – u’’ = –f’’, окончательно можно записать, что

(18)

Из формулы (18) можно сделать следующие выводы. Если

то схема (15) имеет второй порядок аппроксимации по t и четвертый – по h. Такая схема называется схемой повышенного порядка аппроксимации. Если

то схема (15) имеет второй порядок аппроксимации по t и по h. При остальных значениях s и при j_iⁿº 0 в виде (10), то получим

и |q| £ 1 при всех j, если

(19)

Отсюда видно, в частности, что все схемы с s³ 0,5 абсолютно устойчивы. Схема повышенного порядка аппроксимации (s = s_*) также абсолютно устойчива, что проверяется непосредственно.

При s¹ 0 разностная схема (15) является неявной схемой. Для нахождения решения y_iⁿ⁺¹ по заданным y_iⁿ требуется решать систему уравнений

(20)

где

Система (20) решается методом прогонки. Условия устойчивости прогонки при s¹ 0 сводятся к неравенству

|1 + 2sg| ³ 2 |s| g

и выполнены при s³ – 1/(4g). Последнее неравенство следует из условия устойчивости (19) разностной схемы.

3.4. Уравнения с переменными коэффициентами и линейные уравнения. Рассмотрим первую краевую задачу для уравнения теплопроводности с переменными коэффициентами

(21)

где r(x, t), k(x, t), f(x, t) – достаточно гладкие функции, удовлетворяющие условиям

0 < c₁£ k(x, t) £ c₂, r(x, t) ³ c₃ > 0. (22)

Дифференциальное выражение при каждом

фиксированном t аппроксимируем в точке (x_i, t) так же, как и в стационарном случае, разностным отношением

(23)

где разностный коэффициент теплопроводности a(x_i, t) должен удовлетворять условиям второго порядка аппроксимации

Наиболее употребительны следующие выражения для a(x_i, t):

Разностная схема с весами для задачи (21) имеет вид

(24)

Здесь в качестве t можно взять любое значение t Î [t_n, t_n+1], например t = t_n + 0,5t. Если в уравнении (24) t = t_n + 0,5t, s = 0,5, то схема (24) имеет второй порядок аппроксимации по t и по h. При остальных значениях s и t выполняется первый порядок аппроксимации по t и второй – по h.