Разностные аппроксимации (стр. 1 из 5)

1.Примеры разностных аппроксимаций.

Различные способы приближенной замены одномерных дифференциальных уравнений разностными изучались ранее. Напомним примеры разностных аппроксимаций и введем необходимые обозначения. Будем рассматривать равномерную сетку с шагом h, т.е. множество точек

w_h={x_i=ih, i=0, ±1, ±2,…}.

Пусть u(x) – достаточно гладкая функция, заданная на отрезке [x_i-1, x_i+1]. Обозначим

Разностные отношения

называются соответственно правой, левой и центральной разностными производными функции u(x) в точке x_i , т.е. при фиксированном x_iи при h®0 (тем самым при i®¥) пределом этих отношений является u’(x_i). Проводя разложение по формуле Тейлора, получим

u_x,i – u’(x_i) = 0,5hu’’(x_i) + O(h²),

u_x,i – u’(x_i) = -0,5hu’’(x_i) + O(h²),

u_x,i – u’(x_i) = O(h²),

Отсюда видно, что левая и правая разностные производные аппроксимируют u’(x) с первым порядком по h, а центральная разностная производная – со вторым порядком. Нетрудно показать, что вторая разностная производная

аппроксимирует u’’(x_i) со вторым порядком по h, причем справедливо разложение

Рассмотрим дифференциальное выражение

(1)

с переменным коэффициентом k(x). Заменим выражение (1) разностным отношением

(2)

где a=a(x) – функция, определенная на сетке w_h. Найдем условия, которым должна удовлетворять функция a(x) для того, чтобы отношение (au_x)_x,i аппроксимировало (ku’)’ в точке x_i со вторым порядком по h. Подставляя в (2) разложения

где u_i’ = u’(x_i), получим

С другой стороны, Lu = (ku’)’ = ku’’ + k’u’,

т.е.

Отсюда видно, что L_hu–Lu = O(h²), если выполнены условия

(3)

Условия (3) называются достаточными условиями второго порядка аппроксимации. При их выводе предполагалось, что функция u(x) имеет непрерывную четвертую производную и k(x) – дифференцируемая функция. Нетрудно показать, что условиям (3) удовлетворяют, например, следующие функции:

Заметим, что если положить a_i = k(x_i), то получим только первый порядок аппроксимации.

В качестве следующего примера рассмотрим разностную аппроксимацию оператора Лапласа

(4)

Введем на плоскости (x₁, x₂) прямоугольную сетку с шагом h₁ по направлению x₁ и с шагом h₂ по направлению x₂, т.е. множество точек

w_h = {(xⁱ₁, x^j₂) | xⁱ₁ = ih₁, x^j₂ = jh₂; i, j = 0, ±1, ±2,…},

и обозначим

Из предыдущих рассуждений следует, что разностное выражение

(5)

аппроксимирует дифференциальное выражение (4) со вторым порядком, т.е. L_hu_ij – Lu(xⁱ₁, x^j₂) = O(h²₁) + O(h²₂). Более того, для функций u(x₁, x₂), обладающих непрерывными шестыми производными, справедливо разложение

Разностное выражение (5) называется пятиточечным разностным оператором Лапласа, так как оно содержит значения функции u(x₁, x₂) в пяти точках сетки, а именно в точках (x₁ⁱ, x₂^j), (x₁^i±1, x₂^j), (x₁ⁱ, x₂ ^j±1). Указанное множество точек называется шаблоном разностного оператора. Возможны разностные аппроксимации оператора Лапласа и на шаблонах, содержащих большее число точек.

2. Исследование аппроксимации и сходимости

2.1. Аппроксимация дифференциального уравнения. Ранее рассматривалась краевая задача

(k(x) u’(x))’ – q(x) u(x) + f(x) = 0, 0 < x < l, (1)

– k(0) u’(0) + bu(0) = m₁, u(l) = m₂, (2)

k(x) ³ c₁ > 0, b³ 0,

для которой интегро-интерполяционным методом была построена разностная схема

(3)

(4)

где

(5)

(6)

Обозначим через Lu(x) левую часть уравнения (1) и через L_hy_i – левую часть уравнения (3), т.е.

Пусть u(x) – достаточно гладкая функция и u(x_i) – ее значение в точке x_i сетки

w_h = {x_i = ih, i = 0, 1, …,N, hN = l} (7)

Говорят, что разностный оператор L_hаппроксимирует дифференциальный оператор L в точке x=x_i, если разность L_hu_i – L_hu(x_i) стремится к нулю при h®0. В этом случае говорят также, что разностное уравнение (3) аппроксимирует дифференциальное уравнение (1).

Чтобы установить наличие аппроксимации, достаточно разложить по формуле Тейлора в точке x=x_i значения u_i±1 = u(x_i ± h), входящие в разностное выражение L_hu_i. Большая часть этой работы проделана в предыдущей главе, где показано, что при условиях

(8)

выполняется соотношение

Если кроме того, докажем, что

d_i = q(x_i) + O(h²), j_i = f(x_i) + O(h²) (9)

то тем самым будет установлено, что оператор L_h аппроксимирует L со вторым порядком по h, т.е.

L_hu_i – Lu(x_i) = O(h²), i = 1, 2,…, N–1 (10)

Итак, доказательство второго порядка аппроксимации сводится к проверке сводится к проверке условий (8), (9) для коэффициентов (5), (6). Проверим сначала выполнение условий (8). Обозначая p(x) = k^-1(x), получим

следовательно,

Аналогично

Отсюда получим

т.е. условия (8) выполнены. Условия (9) выполнены в силу того, что замена интегралов (6) значениями q_i, f_i соответствует приближенному вычислению этих интегралов по формуле прямоугольников с узлом в середине отрезка интегрирования.

2.2. Аппроксимация граничного условия. Исследуем погрешность аппроксимации разностного граничного условия (4). Обозначим l_hu(0) = –a₁u_{x, 0} + bu₀. Если u(x) – произвольная достаточно гладкая функция, то очевидно

l_hu(0) = –k(0) u’(0) + bu(0) + O(h),

т.е. имеет место аппроксимация первого порядка по h. Однако если u=u(x) – решение задачи (1), (2), то разностное граничное условие (4) имеет второй порядок аппроксимации, т.е.

Докажем последнее утверждение. Используя разложение