Квантовый эффект Холла в двумерных системах (стр. 2 из 2)

Зависимость холловского сопротивления от величины приложенного магнитного поля. Кривая с острыми пиками - это зависимость омического сопротивления образца от магнитного поля. Как следует из графика, сопротивление каждый раз обращается в нуль, когда квантовый эффект Холла выходит на плато

Экспериментальные результаты, представленные на рисунке, дают совершенно другой результат. Дело в том, что эти опыты проводились в двумерной МОП-структуре при температуре 1 К, когда классическое рассмотрение неприменимо и нужно учитывать квантование движения электронов. Холловское сопротивление обнаруживает ряд ярко выраженных ступенек, причем значение сопротивления для этих ступенек строго определяется выражением RH = h/(ie2), где i = 1,2,3... (на рисунке видны ступеньки со второй по десятую; константа h/e2 примерно равна 25 кОм). Величина Холловского сопротивления оказывается настолько стабильной (не зависящей от параметров образца и температуры), что это позволило использовать ее в качестве национального стандарта электрического сопротивления в целом ряде развитых стран мира.

Попробуем разобраться, почему получается столь странная зависимость холловского и омического сопротивлений от магнитного поля. Будем считать, что полное число электронов в канале фиксировано и напряжение на затворе постоянно. В этом случае максимальная энергия EF, которую имеют электроны проводимости в кристалле (иначе эту энергию называют энергией Ферми), практически не зависит от магнитного поля, если (h/2p)W << EF, а расстояние между уровнями Ландау (h/2p)W прямо пропорционально B и будет линейно уменьшаться при уменьшении B.

Для нашего случая это значит, что если при B = 7 Тл электроны размещались на первом и втором уровнях Ландау, то при B = 5 Тл электроны разместятся уже на трех уровнях Ландау. Иначе говоря, при уменьшении магнитного поля уровни Ландау поочередно пересекают уровень Ферми. При уменьшении магнитного поля полное число электронов не изменилось, а количество электронов, которые могут разместиться на одном уровне Ландау стало меньше (это число одинаково для всех уровней Ландау, лежащих ниже уровня Ферми) в полном соответствии с формулой (2). Поэтому теперь для размещения всех электронов потребовалось занять следующий уровень энергии. Ясно, что если под уровнем Ферми находится точно i полностью заполненных уровней Ландау, то n = ine и если подставить значение ne из формулы (2), то получаем выражение n = i eB/h, которое уже позволяет объяснить численное значение величины квантового эффекта Холла.

Действительно, поскольку B = nh/(ie) и RH = RB имеем, что

RH = h/(ie2)

выражается только через фундаментальные константы, не зависит от характерных параметров образца и находится в полном соответсвии с экспериментально полученным результатом.

Обратимся теперь к поведению омического сопротивления. Необходимо заметить, что при измерении квантового эффекта Холла по образцу пропускается некоторый фиксированный ток, а измеряемыми величинами являются продольная и поперечная разности потенциалов. Омическим сопротивлением называется отношение продольной разности потенциалов к силе тока, пропускаемой через образец.

Делались многочисленные попытки выяснить численное значение сопротивления образца в режиме квантового эффекта Холла и зависимость его от температуры. При наиболее низких температурах минимальное значение сопротивления RH < 10-7 Ом, причем оно очень сильно падает с понижением температуры. Однако следует признать, что в настоящее время, видимо, не существует до конца непротиворечивой теории, описывающей протекание тока в образце в режиме квантового эффекта Холла. Можно лишь утверждать, что важную роль в формировании токовых состояний играют примеси. С одной стороны они приводят к уширению уровней Ландау, а с другой вызывают локализацию электронных состояний. На рисунке приведен схематический график зависимости плотности состояний электронов N(E) от энергии.

Зависимости плотности состояний электронов от энергии при наличии примесей

Напомним, что выражение N(E)dE по определению имеет смысл числа разрешенных состояний в интервале энергии от E до E+dE. На этом рисунке пики соответствуют уширенным уровням Ландау, затененные области - локализованным, а светлые области вблизи экстремальных значений N(E) - токовым состояниям электронов проводимости.

Как только уровень Ферми за счет движения уровней Ландау по мере роста магнитного поля попадает в область делокализованных электронов, омическое сопротивление сразу обращается в нуль и остается таковым, пока уровень Ферми не попадет в область локализованных состояний. По существу эта простая идея может объяснить всю совокупность экспериментальных фактов для целочисленного квантового эффекта Холла, хотя, как уже отмечалось, при более детальном рассмотрении остается целый ряд не до конца понятных вопросов о природе холловского сопротивления.

Дробный квантовый эффект Холла

Дробный квантовый эффект Холла (ДКЭХ) был открыт в 1982 г Цуи, Штермером и Госсардом. Ими было обнаружено, что если высококачественный образец с малым количеством примесей поместить при очень низкой температуре (порядка 0.1 К) в магнитное поле напряженностью 15 - 20 Тл, то возникают холловские плато и глубокие провалы продольного сопротивления при дробных заполнениях самого нижнего уровня Ландау (i = 1/3, i = 2/3), подобно тому, как это имело место при целых числах заполнения.

Впоследствии оказалось, что наблюдаются и другие дробные значения, но они еще легче разрушаются "грязью" и требуют еще более низких температур. Типичные экспериментальные результаты приведены на рисунке.

Холловское и омическое сопротивления в режиме ДКЭХ

Здесь по оси абсцисс отложено магнитное поле в единицах Тесла, а по оси ординат значения холловского и омического сопротивлений. Стрелками отмечено значение магнитного поля, при котором омическое сопротивление минимально. На рисунке хорошо видно плато холловского сопротивления при дробном значении числа заполнения i = 1/3 уровня Ландау.

Последовательная и исчерпывающая интерпретация ДКЭХ все еще остается проблемой, хотя идеи, позволяющие понять природу этого эффекта, были высказаны Р. Лафлиным еще в 1983 г. Сразу было ясно, что эффект обусловлен взаимодействием электронов между собой, поскольку он наблюдается только в ультрасильных магнитных полях, когда область локализации электрона в магнитном поле становится малой, а их плотность становится высокой. Наличие холловского плато при i = 1/3, например, говорит о том, что энергия электронной системы в расчете на одну частицу должна испытать скачок D, когда заполнится точно 1/3 уровня Ландау. Иначе говоря, в спектре энергии электронов при заполнении уровня на 1/3 должна быть щель. Если бы такую щель удалось обнаружить, то дальнейшая интерпретация ДКЭХ практически не отличалась от интерпретации целочисленного аналога.

Поэтому первой была высказана идея, что электроны, стремясь разойтись как можно дальше друг от друга, упорядочатся в некоторую правильную структуру (так называемый вигнеровский кристалл). Но оказалось, что не все так просто. Тщательные вычисления энергии электронной системы в расчете на один электрон в модели вигнеровского кристалла не обнаружили ни каких аномалий при дробных числах заполнения уровня Ландау.

Р. Лафлину, руководствуясь разумными аргументами, удалось сконструировать волновую функцию системы взаимодействующих электронов и показать, что она описывает сильно кореллированную электронную жидкость, в которой расстояние между частицами меняется скачком (квантуется). Эта волновая функция позволяет объяснить возникновение щели в спектре энергии электрона при некоторых дробных заполнениях уровня Ландау.

Теория ДКЭХ еще далека от своего завершения и сейчас, пожалуй, ясны только общие контуры этой новой теории. Возможно, что этот эффект есть первый случай экспериментального наблюдения квазичастиц с дробным электрическим зарядом. По крайней мере, именно такой ортодоксальной точки зрения придерживается Р. Лафлин. Прав Лафлин или нет - покажет будущее, но уже и сейчас совершенно ясно, что эти два эффекта положили конец представлениям о том, что фундаментальные открытия в физике связаны только с физикой высоких энергий, ускорителями и элементарными частицами. За последние двадцать лет настоящего столетия в физике твердого тела сделаны грандиозные открытия, в ряду которых обнаружение высокотемпературной сверхпроводимости, создание туннельного микроскопа, позволяющего увидеть атом, квантовый эффект Холла. Все это позволяет сказать, что передний край в современной физике вновь переместился из области элементарных частиц в область физики конденсированных сред и что именно здесь, где тесно переплетены такие фундаментальные проблемы как существование частиц с дробным зарядом с чисто прикладными, например, созданием национального стандарта электрического сопротивления, можно ожидать новых открытий.

Все нобелевские лауреаты по физике 1998 года работают в американских университетах. Они близки по возрасту. Лафлин родился в 1950 г, Штермер - в 1949 г, Цуи - в 1939 г. Коренным американцем является только родившийся в Калифорнии Лафлин. Штермер родился и учился в Германии, а Цуи родился в Китае, но учился уже в Чикаго. Видимо, проблема "утечки мозгов" существует не только в России.