Квантовый эффект Холла в двумерных системах (стр. 1 из 2)

Х. М. Биккин, А. В. Кузнецов

Введение

За последние десять с небольшим лет Нобелевская премия по физике дважды присуждалась за исследование квантового эффекта Холла. Первый раз это была премия, присужденная профессору Марбургского университета (Германия, Гессен) Клаусу фон Клитцингу в 1985 году за открытие квантового эффекта Холла, и второй раз премией были удостоены в 1998 году профессор Стенфордского университета Роберт Лафлин (за интерпретацию дробного квантового эффект Холлла), профессор Колумбийского университета Хорсту Штермеру и профессор Принстонского университета Даниель Цуи (за открытие и основополагающие работы по дробному квантовому эффекту Холла). Интересно отметить, что открытие квантового эффекта Холла и дробного квантового эффекта Холла состоялось почти одновременно и все основные результаты были опубликованы за весьма короткий период с 1980 по 1983 г, однако потребовалось еще несколько лет для признания всей важности квантового эффекта Холла и больше 15 лет для того, чтобы разобраться в физической сущности дробного квантового эффекта Холла.

Двумерный металл

Попробуем разобраться в сущности квантового эффекта Холла в двумерных системах. Для этого сначала поговорим о том, как можно изготовить двумерную металлическую пленку. Подходящим объектом была бы металлическая фольга толщиной несколько десятков ангстрем, однако совершенно неясно, как такой тонкий металлический образец можно изготовить. Тем не менее, двумерные металлические системы исследуются уже более 20 лет. Оказалось, что они достаточно легко воспроизводятся в полупроводниковом приборе, который называется полевым транзистором. На рисунке показано принципиальное устройство полевого транзистора.

Принципиальная схема устройства полевого транзистора

Иногда его называют также МОП-транзистором (транзистор со структурой металл-окисел-полупроводник). На кремниевую пластину, имеющую дырочную проводимость, наносится слой окисла SiO2 (поверхность окисляют). С двух сторон вжигаются электроды, которые называются истоком и стоком. Поверх окисла напыляется слой металла и приваривается электрод. Эта часть устройства называется затвором.

Если теперь на затвор подать положительный потенциал, то дырки, находящиеся в полупроводниковой пластине, будут уходить как можно дальше от затвора, а электроны, (которых мало в дырочном материале), будут наоборот подтягиваться к диэлектрическому слою, создавая между истоком и стоком проводящий электронный канал.

Этот канал и представляет собой двумерный металл. Концентрация электронов в двумерном слое определяется напряжением на затворе и практически не зависит от температуры. Это и позволяет говорить о двумерном металле, а не о двумерном полупроводнике, поскольку независимость концентрации электронов проводимости от температуры является характерным признаком металла.

Двумерный электронный газ в магнитном поле

Исследование полупроводников и Нобелевская премия по физике кажутся несовместимыми, поскольку обычно считается, что такая сложная система, какой является полупроводниковый транзистор, мало пригодна для фундаментальных открытий. До 1980 года никто и не ожидал, что в полупроводниках возможен такой эффект, который определяется исключительно фундаментальными константами и совершенно не зависит от температуры и способа изготовления образца.

Открытию квантового эффекта Холла предшествовало обнаружение другого интересного эффекта - исчезновения сопротивления двумерного металла в сильном магнитном поле.

Как известно, классический электрон в магнитном поле движется по круговой орбите, радиус r которой определяется из уравнения динамики Ньютона

mv2 r

= evB

простым соотношением r = mv/(eB), где m, e - масса и заряд электрона, v - его скорость, B - модуль вектора индукции магнитного поля.

Найдем еще циклическую частоту W = 2pn обращения электрона по круговой орбите в магнитном поле. В этой формуле n = 1/T - частота обращения электрона, а T = 2pr/v - период обращения электрона по круговой орбите. Если использовать формулу для радиуса орбиты электрона в магнитном поле, которую, мы получили выше, то получается замечательный результат: W = eB/m.

В классической механике энергия электрона в магнитном поле может быть любой и определяется только значением скорости v.

Рассмотрим теперь к каким результатам приводит квантово-механическое рассмотрение задачи о движении электрона в магнитном поле. Оказывается, в этом случае некоторые результаты классической механики остаются справедливыми, а некоторые существенно изменяются.

Хорошо известно, что вращательное движение в плоскости может быть получено суперпозицией двух колебаний, происходящих в двух взаимно перпендикулярных направлениях. По этой причине не кажется удивительным, что энергия электрона в сильном магнитном поле определяется выражением

Ek = (h/2p )W

жзи

1 2

цчш

, k = 0,1,2,..., (1)

которое описывает энергию квантового гармонического осциллятора с характерной частотой колебания W, совпадающей с классической циклической частотой обращения электрона в магнитном поле, которую мы вычислили ранее.

В квантовом случае сохраняется, в принципе, и другой результат классической механики: каждый электрон локализован в пространстве и занимает некоторую площадь двумерного канала. Характерным размером, определяющим область, внутри которой находится электрон, является теперь не классический радиус орбиты электрона r, а так называемая магнитная длина

l =

жзи

(h/2p) eB

цчш

1/2

Площадь, занимаемая электроном, при этом равна просто pl2.

Таким образом, в квантовом случае энергия электронов пробегает дискретный ряд значений (квантуется) и электроны занимают эквидистантные (расположенные на одинаковом расстоянии друг от друга) энергетические уровни. Эти уровни называются уровнями Ландау. Число электронов, которое может разместиться на каждом уровне Ландау, может быть легко подсчитано из простых соображений. Дело в том, что электроны являются Ферми-частицами и поэтому два электрона, находящихся на одном уровне энергии и имеющие одинаковый спин, не могут располагаться в одном и том же месте в плоскости канала. В противном случае будет нарушено незыблемое для Ферми-частиц правило (принцип Паули): два фермиона не могут находиться в одном состоянии механического движения.

Будем для простоты считать, что площадь двумерного металла является единичной. Tогда число электронов на каждом уровне Ландау есть просто отношение площади канала к площади pl2, занимаемой одним электроном. Отсюда

ne =

1 pl2

eB p(h/2p)

Если подставить численные значения параметров e = 1.6 ·10-19 Кл, B = 102 Тл, (h/2p) = 1.05 ·10-34 Дж·с, то получается, что на каждом уровне Ландау может разместиться примерно 1012 электронов на каждый квадратный сантиметр площади канала.

Полученный результат нуждается в некоторой коррекции. Дело в том, что мы подсчитали число электронов на уровне Ландау с учетом спина, который может принимать два значения: ±1/2. Но в действительности в сильном магнитном поле каждый уровень Ландау расщепляется на два спиновых подуровня, на каждом из которых может разместиться в два раза меньше электронов, чем мы только что подсчитали, а именно:

ne =

eB 2p(h/2p)

eB h

(2)

(здесь и далее h = 2p(h/2p)). Это расщепление уровней достаточно велико, так что спиновые подуровни совершенно не перекрываются. Учет спинового расщепления уровней Ландау не дает ничего нового при рассмотрении квантового эффекта Холла, поэтому мы в дальнейшем будем говорить об уровнях Ландау, хотя на самом деле речь всегда будет идти о подуровне с определенной ориентацией спина.

Проводимость и эффект Холла в двумерном металле

Рассмотрим теперь проводимость и эффект Холла двумерного металла в квантующем магнитном поле. Схема проведения эксперимента представлена на рисунке.

Схема измерения продольного сопротивления и квантового эффекта Холла

Из приведенного рисунка следует, что если пропускать по образцу электрический ток вдоль оси Х, то в магнитном поле Bz ориентированном вдоль оси Z в классическом случае возникает сила Лоренца, отклоняющая электроны к дальней от нас грани образца. Поскольку электроны имеют заряд, то перераспределение электронов вызовет появление электрического поля Ey, величину которого можно найти из условия равенства сил, действующих на электроны в Y-направлении со стороны электрического и магнитного полей: enEy = en vd B, где vd - дрейфовая скорость электрона, n - число электронов проводимости в канале. Величина дрейфовой скорости vd имеет смысл средней скорости направленного движения электронов вдоль оси X и ее не нужно путать со средней скоростью теплового движения.

Учитывая, что плотность электрического тока J = envd, можно получить простое выражение для холловского поля Ey = RJB, где R = 1/(en) - константа Холла. Удобно наряду с константой Холла ввести холловское сопротивление RH = R B. Из определения холловского сопротивления следует, что Ey = RHJ; эта величина действительно измеряется в омах и для случая, когда применима классическая механика, должна быть обратно пропорциональна числу электронов.

Из определения холловского сопротивления следует, что величина RH пропорциональна B и график зависимости RH(B) должен иметь вид прямой линии, выходящей из начала координат, тангенс угла наклона которой к оси абсцисс равен 1/en. Для нормального трехмерного металла при комнатной температуре и не слишком высоких значениях магнитного поля (1-5 Тл) экспериментальные результаты вполне хорошо соответствуют описанной выше картине поведения холловского сопротивления (кстати, эффект Холла в металлах был открыт более ста лет назад в 1879 году американским физиком Е.Г. Холлом).