Таким образом имеем уравнение для определения х
Отсюда x = R2/d.
Если мы поместим точечный заряд q на расстоянии х от центра сферы, то сфера будет эквипотенциальной поверхностью. Величина заряда q легко определится из соотношения
Таким образом, имеем систему двух точечных зарядов, расположенных так, как на рис. 7.
Рис. 7
На заряд +q со стороны сферы (или заряда-изображения q) действует сила притяжения
Mы рассмотрели случай заземленной проводящей сферы. А как быть в том случае, если сфера имеет заряд Q или несет ненулевой потенциал? Ответ на этот вопрос очень прост - в центр сферы нужно добавить еще один точечный заряд q, величину которого определим из условия эквипотенциальности сферы.
Рассмотрим незаряженную металлическую изолированную сферу и заряд +q, расположенный на расстоянии d от ее центра. Какая сила действует на заряд? Cфера останется незаряженной. Произойдет лишь перераспределение зарядов по поверхности сферы, связанное с взаимодействием с зарядом +q. Ближняя к заряду часть сферы приобретет отрицательный заряд, а дальняя - положительный, так как электроны притянутся к заряду (рис. 8).
Рис. 8
Чтобы решить задачу, кроме заряда q, расположенного от центра сферы на расстоянии R2/d , в центре сферы надо расположить еще один заряд q (рис. 9).
Рис. 9
Появление в центре сферы заряда q не меняет ее эквипотенциальности. Потенциал любой точки сферы создается теперь уже тремя зарядами - q, q и q. Суммарный потенциал, создаваемый зарядами q и q на поверхности сферы равен нулю, следовательно потенциал любой точки сферы определяется только зарядом q. Он равен = kq/R . Если сфера изолирована, то заряд q определится из условия
Поля и потенциалы вне сферы определяются по принципу суперпозиции как результат наложения полей всех трех зарядов. Сила, действующая на заряд +q определится следующим образом
- k | qq d2 | . | Если теперь вместо изолированной сферы и заряда q мы будем рассматривать тот же заряд и сферу, имеющую либо заряд Q, либо потенциал , то, используя метод изображений, получим систему точечных зарядов: заряд q, расположенный на расстоянии d от центра сферы, заряд-изображение q, расположенный на расстоянии R2/d от центра сферы, и заряд-изображение q, расположенный в центре сферы. Величина q определится из условия, что потенциал сферы должен быть равен
Если мы знаем заряд сферы Q, то q = Q. Если же нам известен ее потенциал , то q = R/k.
Точечный заряд вблизи границы раздела двух диэлектриков
Пусть точечный заряд +q находится на расстоянии а от плоской границы двух бесконечно протяженных однородных диэлектриков с проницаемостями 1 и 2 (рис. 10).
Рис. 10
Определим силу, действующую на заряд, и потенциал электрического поля методом изображений.
Допустим, что заряд-изображение имеет величину q и расположен на расстоянии a снизу от поверхности МN, разделяющей диэлектрики (рис. 11), так как именно там будет находиться изображение светящейся точки q в плоском зеркале MN.
Рис. 11
Величину заряда-изображения можно найти из граничных условий для нормальной (перпендикулярной границе) и тангенциальной (параллельной границе) составляющих вектора напряженности электростатического поля. На границе раздела двух диэлектрических сред нормальная составляющая поля подчиняется условию 1En1 = 2En2 , где En1 и En2 - нормальные составляющие поля в диэлектриках с проницаемостями 1 и 2, соответственно. Тангенциальная составляющая поля при переходе из среды с диэлектрического проницаемостью 1 в среду с диэлектрической проницаемостью 2 остается неизменной, то есть E1 = E2. Подробнее о граничных условиях на границе раздела двух сред поговорим в конце задачи.
Найдем нормальную и тангенциальную составляющие вектора напряженности электрического поля в точке А, расположенной на границе раздела диэлектриков,
En1 = E1 cos 1, En2 = E2 cos 2,
E1 = E1 sin 1, E2 = E2 sin 2,
где 1 и 2 - углы, которые составляют вектора напряженности в первой и во второй средах соответственно. Отсюда легко получить соотношение tg 1/tg 2 = 1/2, которое потребуется нам в дальнейшем.
Если бы не было среды с проницаемостью 2, то в точке A напряженность поля была бы равна E1 и ее создавал бы один заряд +q. Но поскольку вторая среда присутствует, то напряженность поля равна вектору E2 и составляет с перпендикуляром угол 2. Если дело происходит в вакууме, то это возможно в случае, когда в точке B находится заряд q, создающий в точке A поле, напряженность которого обозначим E. Ясно, что E удовлетворяет равенству
Анализ граничных условий приводит к выводу: если 1 > 2, то 1 > 2, и в точке B должен находиться отрицательный заряд (рис. 12);
Рис. 12
если же 1 < 2, то 1 < 2 и в точку B должен быть помещен положительный заряд (рис. 13).
Рис. 13
Разберем случай 1 > 2. Спроецировав левую и правую части уравнения
на горизонтальное и вертикальное направления, получим
E1 sin 1-E sin 1 = E2 sin 2 и E1 cos 1-E cos 1 = E2 cos 2.
Используя граничные условия и поделив первое уравнение на второе, имеем
Модуль вектора напряженности поля, которое создает в точке A заряд +q определяется его величиной и расстоянием r до точки A: E1 = kq/r. Заряд q в точке A создает поле, модуль вектора напряженности которого E = k|q|/r. Тогда для определения величины заряда q имеем уравнение
Отсюда определяем модуль заряда q
Сила взаимодействия зарядов определяется по закону Кулона
Потенциал произвольной точки C, расстояние от которой до точки, в которой находится заряд +q, равно r1, а до точки В, в которой находится заряд q, равно r2, легко определить по принципу суперпозиции полей. Если точка С находится в среде с проницаемостью 1, то по ее потенциал q определяется равенством
если же точка C находится в диэлектрике с проницаемостью 2, то
Случай, когда в точке B находится положительный заряд-изображение q, рассчитывается аналогично; для величины q получим выражение
Если диэлектрическая проницаемость первой среды больше, чем второй, то заряд отталкивается от границы диэлектриков, при обратном соотношении - притягивается. Заряд, находившийся вначале в среде с большей проницаемостью, отталкиваясь от границы, стремится уйти в бесконечность. Заряд, вначале находившийся в среде с меньшей проницаемостью, притягивается к границе, пересекает ее, а затем, находясь уже в другой среде отталкивается от границы, стремясь уйти в бесконечность. Естественно, все сказанное справедливо только в том случае, если можно пренебречь силой трения, действующей на заряд со стороны среды.
И в заключение этой задачи поговорим о граничных условиях на границе раздела двух сред. Начнем с рассмотрения диэлектрических сред. Пусть мы имеем плоскую границу двух однородных диэлектриков с различными проницаемостями 1 и 2. Обозначим через
напряженности электрического поля в первой и во второй средах соответственно. Разложим векторы