Метод изображений в электростатике (стр. 3 из 3)

 E1

и

 E2

на две составляющие - нормальную En1 и En2 и тангенциальную E1 и E2.

Рис. 14

Выясним теперь, как связаны тангенциальные составляющие поля при переходе из одной среды в другую. Выберем любые две пары точек, расположенных очень близко к друг к другу и разделенных поверхностью (рис. 14). Пара точек A1 и B1 находится в первом диэлектрике, а пара точек A2 и B2 находится во втором диэлектрике. Если тангенциальные составляющие полей в разных диэлектриках будут различными, то работы поля при перемещении какого-либо заряда вдоль линий A1B1 и A2B2 будут различными. Будем приближать точки A1 и A2, B1 и B2 друг к другу, в конце концов мы получим две бесконечно близких линии A1B1 и A2B2. Поскольку электрическое поле потенциально, то работа по перемещению заряда между какими-либо точками не зависит от траектории. У нас же получается, что работа поля по перенесению заряда по двум бесконечно близким отрезкам A1B1 и A2B2 различна. Следовательно наше допущение о неравенстве тангенциальных составляющих поля не верно, так как ведет к нарушению потенциальности поля.

Таким образом, на границе раздела двух диэлектриков тангенциальные составляющие поля в разных средах одинаковы или непрерывны, то есть E1 = E2.

Рис. 15

Получим граничные условия для нормальных составляющих поля. Для этого выделим на поверхности прямоугольник S столь малый, что поля в диэлектриках с проницаемостями 1 и 2 на его площади не меняются. Построим на нем параллелепипед высоты 2L (рис. 15). Величина L должна быть достаточно малой, чтобы электрическое поле на протяжении отрезка L оставалось постоянным. Определим поток  поля через поверхность прямоугольного параллелепипеда. Потоки через боковые грани поверхности равны нулю, так как для них углы между напряженностью поля и нормалями (перпендикулярами) к поверхности равны 90. Таким образом остается только посчитать потоки через верхнюю и нижнюю грани параллелепипеда. Поскольку верхняя грань находится в среде с проницаемостью 1, а нижняя - в среде с проницаемостью 2, суммарный поток через них определится следующим образом

 = ниж+верх = 1 En1S-2 En2S.

С другой стороны, по теореме Гаусса имеем = 0, так как свободных зарядов внутри параллелепипеда нет. Следовательно, 1 En1 = 2 En2.

Если мы имеем две металлические среды, то тангенциальная составляющая поля на поверхности равна нулю (если бы она не была равна нулю, то электроны бы двигались против поля, а это означает, что точки на поверхности металла имеют разные потенциалы).

Точечный заряд и проводящие плоскости, образующие двугранный угол

Двугранный угол между двумя заземленными металлическими плоскостями равен . Внутри угла на расстоянии a и b от плоскостей находится точечный заряд +q. Найти электрическое поле внутри угла. Рассмотреть случаи: а)  = 90, б)  = 60, в)  = 45.

Рассмотрим случай  = 90. В оптике есть аналогичная задача - построение изображения точечного источника в системе плоских зеркал, образующих двугранный угол  = 90. Начнем с ее рассмотрения. Источник обозначим буквой S, плоскости зеркал OA и OB. Построим изображение источника S в зеркале OA, получим мнимый источник S1, расположенный на расстоянии a снизу от плоскости зеркала OA (рис. 16а), для его построения нам нужно найти точку, симметричную S относительно плоскости OA.

Рис. 16а Рис. 16б

Строя изображение точки S в зеркале OB, получим мнимый источник S2. Еще надо построить изображение S1 в зеркале OB и изображение S2 в зеркале OA. Эти изображения совпадут и будут находиться в точке S3 (мнимый источник). Для построения точки S3 плоскости зеркал нужно продолжить влево и вниз и найти точки, симметричные точкам S1 и S2 относительно этих плоскостей. В нашей задаче имеем три заряда-изображения, расположенные в точках S1, S2 и S3. В точках S1 и S2 расположены заряды -q, в точке S3 - заряд +q (рис. 17).

Рис. 17

Заряд и его изображения одинаковы по величине, но противоположны по знакам.

Тогда поле внутри двугранного угла определится по принципу суперпозиции как векторная сумма полей каждого из зарядов. Ее расчет достаточно стандартен и поэтому здесь мы его приводить не будем.

Рис. 18 Рис. 19

Если угол  = 60, то имеем 5 зарядов-изображений, расположенных так, как показано на рис. 18. В случае  = 45 имеем семь зарядов-изображений (рис. 19). В геометрической оптике при решении задачи построения изображения точечного источника в ситеме плоских зеркал, угол между которыми равен  = 2/m, показывается, что число изображений равно m-1. Воспользовавшись этим результатом, мы легко можем решить задачу для точечного заряда и проводящих плоских поверхностях, образующих угол .

P.S. Каждый раз, решая задачу методом изображений, мы подбирали системы точечных зарядов, которые создают точно такие же поля, как и заряды, индуцированные на поверхности проводника. Положение и величины зарядов выбираются таким образом, чтобы одна из эквипотенциальных поверхностей поля, создаваемого заданными зарядами и зарядами-изображениями, совпадала бы с поверхностью проводника. С помощью этих зарядов находится только поле вне проводника, внутри проводника поля нет. Но, несмотря на свою привлекательность, метод изображений далеко не универсален. Достаточно поместить точечный заряд снаружи двугранного угла, образованного проводящими плоскостями, чтобы задачу уже невозможно было решить этим методом (рис. 16б). Хотя система точечных зарядов, изображенная на рис 17, и обеспечивает эквипотенциальность поверхности двугранного угла, но она не дает решения задачи. Дело в том, что фиктивные заряды-изображения можно помещать только по другую от реального заряда сторону проводящей поверхности. В той точке пространства, где находится точечный заряд, напряженность поля обращается в бесконечность. Поэтому, если мы поместим фиктивный заряд по одну сторону с реальным, то в точке его нахождения напряженность поля обратится в бесконечность, чего на самом деле нет.

Список литературы

Р. Фейман, Р. Лейтон, М. Сэндс, Феймановские лекции по физике, т. 5. - М., Мир, 1977, 300 с.

В. В. Батыгин, И. Н. Топтыгин, Сборник задач по электродинамике - М., Наука, 1970, 504 с.

И. Е. Тамм, Основы теории электричества - М., Наука, 1989, 504 с.

Е. И. Бутиков, А. А. Быков, А. С. Кондратьев, Физика для поступающих в ВУЗы. Учебное пособие - М.,Наука, 1982, 608 с.

Физическая энциклопедия / Под ред. А. М. Прохорова. - М., Большая Российская энциклопедия. Т. 3. 1992, 672 с.