Математическая статистика (стр. 2 из 3)
Теорема. Непрерывные оценки 
к к=1,…,r, получаемые методом моментов, состоятельны.
Асимптотические св-ва статистических оценок. Состоятельность, асимптотическая эффективность, асимптотическая нормальность СКТ 227 ВДВ 221.
Асимптотически эффективностью оценки n называется конечным предел
.Асимптотически эффективной называется такая оценка, асимптотическая эффективность к-рой равна единице.
Асимптотически нормальной называется оценка, которая в пределе сходится к нормальному распределению.
Состоятельность и асимптотическая нормальность эмпирических моментов и функций от эмпирических характеристик (БМС 40).
Теорема. Пусть F0 – функция распределения генеральной совокупности и g, Sn таковы, что
, где h – дифференцируема в точке 
, 
, то 
, где x - н.р.с.в. с параметрами 0 и 
.Асимптотические св-ва оценок максимального правдоподобия. Метод максимального правдоподобия. Оптимальные св-ва оценок СКТ 229 ГММЕ 541 ВДВ 221 ВДВ 249.
Оценкой максимального правдоподобия называется оценка, обращающая в максимум функцию правдоподобия: L(x; )=maxqL(x; q), или 
.
Теорема. Если q1<q<q2,
, 
, 
, 
и 
, где М не зависит от q, то уравнение правдоподобия 
имеет решение, которое в пределе сходится по вероятности к q0. Эта оценка наибольшего правдоподобия асимптотически нормальна и асимптотически эффективна.Основные понятия общей теории статистических решений: пр-во решений, функция потерь и функция риска. Байесовский и минимальный подходы к задачам статистических решений (БМС 120).
Байесовский подход состоит в представлении параметра q как случайной величины с некоторой плотностью q(t), называемой априорной.
Байесовской оценкойq~, минимизирующей M(q-q~)2 является функция
, где 
- апостериорное распределение q, 
, ¦t(x) – функция правдоподобия, l - мера.Минимальной называется такая оценка q~, что для любой другой оценки q
, qÎQ.Байесовские оценки при квадратичной функции потерь. Априорный и апостериорный риск. Сравнение с эффективными оценками.Нормальное распределение в Rn. Эквивалентность различных определений и св-ва. ГММЕ 341 СКТ 164.
Нормально распределенным называется такой случайный вектор x, что его характеристическая функция равна
, где, а – вектор, а В – симметрическая матрица положительно определенной КВАФ. Любое линейное преобразование нормально распределенного случайного вектора также является нормальным случайным вектором.Теорема. Для того чтобы вектор x был нормально распределен, необходимо и достаточно, чтобы имело место представление
, где qi – набор нормально распределенных н.о.р.с.в., g – некоторая матрица, Mxa=aa.Распределение хи квадрат. Стьюдента, Фишера и их использование в мат. статистике СКТ 169.
| Распределение | Формула плотности | E | s |
| ГеометрическоеxÎQ | p(x)=q(1-q)x | (1-q)/q | (1-q)/q2 |
| ПуассонаxÎQ |  | x | x |
| НормальноеxÎR |  | a | s2 |
| Гаммаx>0 |  |  |  |
| Хи квадрат с k степенями свободы х³0 |  | ||
| Стьюдента с k степенями свободыxÎR |  | ||
| Фишерах³0 |  |
Независимость среднего арифметического и среднего квадратичного для независимых нормально распределенных случайных величин ГММЕ 413 СКТ 237.
Теорема. Статистики
(выборочное среднее) и 
(дисперсия) незав. норм. р.с.в. независимы, случайная величина s2(n-1)/s2 имеет распределение хи квадрат с (n-1)й степенью свободы.Понятие доверительного интервала – интервальной статистической оценки и его хар-ки. Точные и асимптотические доверительные интервалы СКТ 234.
Доверительным интервалом для выборки с распределением p(x, q) называется такой отрезок, что q принимает значение из этого отрезка с вероятностью 1-a, называемой доверительной вероятностью.
Асимптотическим доверительным интервалом уровня e называется такой интервал (q1, q2), что
.Доверительные интервалы для параметров нормального распределения СКТ 236.Доверительные интервалы для параметров биномиального распределения СКТ 240.Проверка статистических гипотез. Общие понятия: простые и сложные статистические гипотезы, критерии, ошибки 1го и 2го рода, размер, мощность критерия СКТ 197.
Статистической гипотезой называются предположения о значении параметра q для выборки с распределением p(x, q).
Простой называется статистическая гипотеза, состоящая в том, что q=q0.
Сложной называется статистическая гипотеза, предполагающая принадлежность q к некоторому мн-ву Q0.
Ошибкой первого рода называется опровержение верной гипотезы.
Ошибкой второго рода называется принятие ложной гипотезы при существующей истинной.
Критерий - правило, по которому гипотеза Н будет отвергнута, если случайная величина принимает значение из критического мн-ва S.
S критериемпроверки гипотезы называется критерий заключающийся в нахождении критического подмн-ва выборки, не котором гипотеза не верна.
Уровнем значимости называется вероятность ошибки первого рода.
Функцией мощности S критерия называется функция 
то есть вероятность отвергнуть гипотезу Н0 при истинном значении параметра q.
Оптимальным, или наиболее мощным называется критерий S для которого W(S,q0)=a,W(S,q1)=maxW(S,qk) при S принадлежащем множеству всех критериев с уровнем значимости a, где q0q1– значения параметров для двух рассматриваемых гипотез.
Проверка двух простых гипотез. Лемма Неймана-Пирсона. Критерий отношения правдоподобия как наиболее мощный критерий ГММЕ 541.
j критерием называется такой критерий, согласно которому гипотеза Н отвергается, если некоторая бинарная случайная величина от выборки, принимающая свои значения с вероятностями a и 1-a соотв., принимает нулевое значение .