Ясно, что, используя метод исчерпывания (который является скорее методом доказательства, а не открытия новых соотношений), Архимед должен был располагать каким-то другим методом, позволяющим находить формулы, которые составляют содержание доказанных им теорем. Один из методов нахождения формул раскрывает его трактат О механическом методе доказательства теорем. В трактате излагается механический метод, при котором Архимед мысленно уравновешивал геометрические фигуры, как бы лежащие на чашах весов. Уравновесив фигуру с неизвестной площадью или объемом с фигурой с известной площадью или объемом, Архимед отмечал относительные расстояния от центров тяжести этих двух фигур до точки подвеса коромысла весов и по закону рычага находил требуемые площадь или объем, выражая их соответственно через площадь или объем известной фигуры. Одно из основных допущений, используемых в методе исчерпывания, состоит в том, что площадь рассматривается как сумма чрезвычайно большого множества плотно прилегающих друг к другу «материальных» прямых, а объем – как сумма плоских сечений, тоже плотно прилегающих друг к другу. Архимед считал, что его механический метод не имеет доказательной силы, но позволяет получить предварительный результат, который впоследствии может быть доказан более строгими геометрическими методами.
Хотя Архимед был в первую очередь геометром, он совершил ряд интересных экскурсов и в область численных расчетов, пусть примененные им методы и не вполне ясны. В предложении III сочинения Об измерении круга он установил, что число p меньше
и больше
. Из доказательства видно, что он располагал алгоритмом получения приближенных значений квадратных корней из больших чисел. Интересно отметить, что у него приведена и приближенная оценка числа
, а именно:
. В сочинении, известном под названием Исчисление песчинок, Архимед излагает оригинальную систему представления больших чисел, позволившую ему записать число
, где само Р равно
. Эта система потребовалась ему, чтобы сосчитать, сколько песчинок понадобилось бы, чтобы заполнить Вселенную.
В труде О спирали Архимед исследовал свойства т.н. архимедовой спирали, записал в полярных координатах характеристическое свойство точек спирали, дал построение касательной к этой спирали, а также определил ее площадь. Эта спираль изучалась Архимедом приблизительно в 225 году до н.э. в работе "О Спиралях". Вы можете представить спираль Архимеда как траекторию муравья, перемещающегося с постоянной скоростью по абсолютно прямой веточке, в то время как веточка вращается вокруг одного из краев с постоянной угловой скоростью. Или, например, можете представить муравья, перемещающегося по секундной стрелке часов.
В истории физики Архимед известен как один из основоположников успешного применения геометрии к статике и гидростатике. В I книге сочинения О равновесии плоских фигур он приводит чисто геометрический вывод закона рычага. По сути, его доказательство основано на сведении общего случая рычага с плечами, обратно пропорциональными приложенным к ним силам, к частному случаю равноплечего рычага и равных сил. Все доказательство от начала и до конца пронизано идеей геометрической симметрии.
В своем сочинении О плавающих телах Архимед применяет аналогичный метод к решению задач гидростатики. Исходя из двух допущений, сформулированных на геометрическом языке, Архимед доказывает теоремы (предложения) относительно величины погруженной части тел и веса тел в жидкости как с большей, так и с меньшей плотностью, чем само тело. В предложении VII, где говорится о телах более плотных, чем жидкость, выражен т.н. закон Архимеда, согласно которому «всякое тело, погруженное в жидкость, теряет по сравнению со своим весом в воздухе столько, сколько весит вытесненная им жидкость». В книге II содержатся тонкие соображения относительно устойчивости плавающих сегментов параболоида.
2.9. Аристотель.
2.9.1. Жизнь.
Книги тогда были очень дороги, но Проксен покупал ему даже самые редкие; таким образом, Аристотель в юности пристрастился к чтению. Под руководством Проксена он изучал растения и животных. Многие историки утверждают, что Аристотель наследовал от отца не только материальные средства, но также многие сочинения, запечатлевшие наблюдения органической и неорганической природы.
В 367 году до н. э. он отправился совершенствовать свое образование в центр культурной жизни Эллады - Афины. Свободный образ жизни Аристотеля породил различные слухи. Говорили, что он в кутежах спустил свое состояние и, чтобы добыть средства для существования, избрал профессию дрогиста. В соответствии со словарем Даля дрогист - москателыщик, торговец аптечным товаром, снадобщик, зелейн(щ)ик (от зелье). В действительности же Аристотель, не терпевший стеснений, никогда не предавался излишествам; он знал медицину и в Афинах оказывал медицинскую помощь, когда за ней к нему обращались.
Аристотель провел в обществе Платона семнадцать лет. Есть основание полагать, что Платон любил своего гениального и непокорного ученика и не только передал ему все свои познания, но перелил в него всю свою душу. До смерти Платона Аристотель не открывал своей школы, хотя философские его воззрения давно были разработаны. Итак, Аристотель около двадцати лет занимался в Академии Платона. Он мало интересовался политической жизнью. В 355 году до н. э. положение Аристотеля в Афинах, где он как иногородец не имел политических и гражданских прав, несколько упрочилось в связи с приходом к власти промакедонской партии. Однако Аристотель и Ксенократ решили покинуть Афины. К этому их побудило нежелание оставаться в Академии под началом племянника Платона Спевсиппа.
Покинув великий город, Аристотель вместе с Ксенократом отправился в Среднюю Азию и принял приглашение любимого ученика Гермия, тирана малоазийского города Атарнея, погостить у него в прибрежном Ассосе. Аристотель провел в этом городе три года (348 (347) - 345 годы до н. э.), здесь он нашел себя, здесь определилось его собственное мировоззрение. Аристотель женился на младшей сестре Гермия, Пифиаде. Гнев персидского царя был так велик, что Аристотелю пришлось спасать жизнь молодой девушки и свою собственную. Последующие три года мыслитель жил в городе Митилена на соседнем с Ассосом острове Лесбос, куда его пригласил Теофраст - друг и помощник, уроженец тех мест.
Во время пребывания на острове Лесбосе Аристотель получил приглашение от македонского царя Филиппа приехать в Македонию и стать воспитателем его сына Александра. В конце 340-х годов до н. э. Аристотель прибыл в новую столицу Македонии - город Пеллу. Воспитанию Александра Аристотель посвятил три года. Аристотель не стремился сделать из Александра философа и не изводил его геометрией, а нашел главное средство воспитания в поэзии, и особенно в эпосе Гомера. Во время восьмилетнего пребывания в Македонии Аристотель главным образом занимался наблюдением природы. Филипп, а потом Александр Македонский не жалели ничего, чтобы обеспечить Аристотелю возможность заниматься науками.
В 335 году до н. э. философ прибыл в Стагир с женой Пифиадой, с дочерью и воспитанником Никанором, а затем перебрался в Афины. Второй афинский период целиком совпадает с периодом походов Александра Македонского, иначе говоря, с "эпохой Александра". Аристотель пытался внушить Александру мысль о принципиальном различии греков и не-греков. Последний повел на Ближнем Востоке совсем иную политику: он препятствовал смешению пришлого, греческого, и местного населения. Кроме того, он вообразил себя восточным деспотом-полубогом и требовал от своих друзей и соратников соответствующих почестей.
Из Афин Аристотель уехал в Халкиду, где через два месяца 2 октября 322 года до н. э. умер от болезни желудка. Ему было 62 года.
Клевета преследовала Аристотеля всю жизнь; хотя он умер естественной смертью, распространился слух, что Аристотель убил себя, не желая предстать на суд перед Ареопагом. Но Аристотель был всегда против самоубийства. Поступки же его никогда не шли вразрез с убеждениями.
2.9.2. Учение.
Будучи учеником Платона, Аристотель подверг платонизм глубокой критике, отвергнув учение Платона об идеях как общих сущностях-эталонах, существующих до предметов материального мира и лишь отражающихся в них. Аристотель колебался в понимании сущности индивида, вида и рода. Его два критерия сущности противоречивы: сущность должна существовать самостоятельно, но так существуют только индивиды, и должна быть определима, иметь свое понятие, но так существует только общее (вид), индивиды не имеют своего понятия. Отклонив реальность родов (они существуют через виды) и платоновское превращение качеств, количеств, отношений, действий и т.п. в самостоятельные идеи, Аристотель склонился к признанию первичности вида относительно индивида и рода, обозначив его как «морфэ» (лат. «форма»), «первая сущность» (только в «Метафизике» и в «Категориях» первая сущность обозначает индивидов), «то, что было и что есть», т.е. устойчивое во времени (в пер. «суть бытия»).