Опираясь на изложенное выше понимание бесконечного, Аристотель определяет непрерывность и прерывность. Так, "непрерывное есть само по себе нечто смежное. Смежное есть то, что, следуя за другим, касается его". Число как типично прерывное (дискретное) образование формируется соединением дискретных, далее неделимых элементов - единиц. Геометрическим аналогом единицы является точка; при этом соединение точек не может образовать линию, так как "точкам, из которых было бы составлено непрерывное, необходимо или быть непрерывными, или касаться друг друга". Но непрерывными они не будут: "ведь края точек не образуют чего-нибудь единого, так как у неделимого нет ни края, ни другой части". Точки не могут и касаться друг друга, поскольку касаются "все предметы или как целое целого, или своими частями, или как целое части. Но так как неделимое не имеет частей, им необходимо касаться целиком, но касающееся целиком не образует непрерывного".
Невозможность составления непрерывного из неделимых и необходимость его деления на всегда делимые части, установленные для величины, Аристотель распространяет на движение, пространство и время, обосновывая (например, в "Физике") правомерность этого шага. С другой стороны, он приходит к выводу, что признание неделимых величин противоречит основным свойствам движения. Выделение непрерывного и прерывного как разных родов бытия послужило основой для размежевания в логико-гносеологической области, для резкого отмежевания арифметики от геометрии.
"Началами... в каждом роде я называю то, относительно чего не может быть доказано, что оно есть. Следовательно, то, что обозначает первичное и из него вытекающее, принимается. Существование начал необходимо принять, другое - следует доказать. Например, что такое единица или что такое прямое или что такое треугольник (следует принять) ; что единица и величина существует, также следует принять, другое - доказать". В вопросе о появлении у людей способности познания начал Аристотель не соглашается с точкой зрения Платона о врожденности таких способностей, но и не допускает возможности приобретения их; здесь он предлагает следующее решение: "необходимо обладать некоторой возможностью, однако не такой, которая превосходила бы эти способности в отношении точности". Но такая возможность, очевидно, присуща всем живым существам; в самом деле, они обладают прирожденной способностью разбираться, которая называется чувственным восприятием. Формирование начал идет "от предшествующего и более известного для нас", то есть от того, что ближе к чувственному восприятию к "предшествующему и более известному безусловно" (таким является общее) . Аристотель дает развернутую классификацию начал, исходя из разных признаков.
Во-первых, он выделяет "начала, из которых (что-либо) доказывается, и такие, о которых (доказывается) ". Первые "суть общие (всем начала) ", вторые "свойственные (лишь данной науке) , например, число, величина". В системе начал общие занимают ведущее место, но их недостаточно, так как "среди общих начал не может быть таких, из которых можно было бы доказать все". Этим и объясняется, что среди начал должны быть "одни свойственны каждой науке в отдельности, другие - общие всем". Во-вторых, начала делятся на две группы в зависимости от того, что они раскрывают: существование объекта или наличие у него некоторых свойств. В-третьих, комплекс начал доказывающей науки делится на аксиомы, предположения, постулаты, исходные определения.
Выбор начал у Аристотеля выступает определяющим моментом построения доказывающей науки; именно начала характеризуют науку как данную, выделяют ее из ряда других наук. "То, что доказывается", можно трактовать очень широко. С одной стороны, это элементарный доказывающий силлогизм и его заключения. Из этих элементарных процессов строится здание доказывающей науки в виде отдельно взятой теории. Из них же создается и наука как система теорий. Однако не всякий набор доказательств образует теорию. Для этого он должен удовлетворять определенным требованиям, охватывающим как содержание доказываемых предложений, так и связи между ними. В пределах же научной теории необходимо имеет место ряд вспомогательных определений, которые не являются первичными, но служат для раскрытия предмета теории.
Хотя вопросы методологии математического познания и не были изложены Аристотелем в какой-то отдельной работе, но по содержанию в совокупности они образуют полную систему. В основе философии математики Аристотеля лежит понимание математических знаний как отражения объективного мира. Эта установка сыграла важную роль в борьбе Аристотеля с платоновым идеализмом; ведь "если в явлениях чувственного мира не находится вовсе математическое, то каким образом возможно, что к ним прилагаются его свойства? " - писал он. Разумеется, материализм
3. Упадок Александрийской школы
Папп и Диофант явились последними представителями александрийских математиков, внесших в математику новые идеи. В дальнейшем значение александрийских ученых снижается все более и более. Это объясняется как внутренними, так и внешними условиями работы в Александрийской школе. Государственный строй, в условиях которого развивались науки в Афинских и Александрийских школах, строй, основанный на рабском труде, не мог способствовать дальнейшему росту научных знаний. В первые годы существования Александрийской школы Птолемея были созданы весьма благоприятные условия для научной работы, так как это было выгодно для правящих классов: надо было создать сильное и богатое государство, приносящее и личную выгоду Птолемеям.
Развитие техники военного дела, астрономии, географии, торгового дела и промышленности требовало и быстрого развития математики, а потому математика и имела все данные для своего роста и вширь и вглубь. Но когда материальные потребности правящих классов были удовлетворены достигнутыми успехами наук, то не стало и стимула для поощрения дальнейшего роста научных знаний. Таковы внутренние условия, вызвавшие упадок математических наук в Александрии. Но, кроме них, существовали и условия внешнего характера. Уже задолго до начала нашей эры стало все более сказываться притязание Рима на овладение территорией, на которой была расположена Александрия. В 47 г. до н. э., во время войны Юлия Цезаря против Александрии, была сожжена ее замечательная библиотека. Затем она была восстановлена; но когда Рим окончательно овладел Александрией, началась жестокая вражда между христианами и язычниками. Религиозная рознь отозвалась и на науке, так как, во-первых, в науку стала проникать христианская мистика (что отозвалось, например, на творениях Никомаха), а, во-вторых, христианские фанатики стали преследовать все языческое, в том числе и «языческую» науку. По приказанию патриарха Теофила в 391 г. в Александрии был разрушен храм бога Сераписа, а вместе с храмом погибла и библиотека. Дни Александрийской школы были сочтены.
Таков был конец Александрийской математической школы.
Последний кратковременный расцвет математических наук в Греции отмечается в V - VI вв. в Афинах. Афинская школа этой эпохи работала главным образом над толкованием работ математиков прежних веков: Евклида, Архимеда и др. Но и эта школа в 529 г. была закрыта по распоряжению императора Юстиниана как «языческая мерзость».
4. Александрийская школа. Великие задачи.
Квадратура круга
Греки еще издавна преобразовывали любую прямолинейную фигуру с помощью циркуля и линейки в произвольную прямолинейную, равновеликую ей. И появилась мысль обобщить эту задачу: построить с помощью циркуля и линейки такой квадрат, площадь которого была бы равна площади данного круга. Задача получила название квадратуры круга, и многие ученые пытались выполнить такое построение.
Известный математик древности Гиппократ Хиосский (ок. 400 г. до н.э.) первый указал на то, что площадь круга пропорциональна квадрату его диаметра. Но провести строгое доказательство ученый в то время еще не мог: не было подходящего метода. Найденное Гиппократом Хиосским соотношение позволило свести задачу о квадратуре круга к построению с помощью циркуля и линейки, если это возможно, полученного коэффициента пропорциональности, одного и того же для всех кругов.
Попытки Гиппократа решить задачу о квадратуре круга привели его к открытию квадрируемых фигур (то есть таких, площади которых выражаются в рациональных числах), ограниченных пересекающимися окружностями. Они впоследствии получили название гиппократовых луночек. Вот пример такой луночки
Оказывается, что площади этих фигур равны и имеют общую часть - сегмент АВm.