Об одной общей краевой задаче со смещением для нагруженного уравнения третьего порядка с кратными характеристиками (стр. 2 из 3)

Удовлетворяя (14) граничным условиям (12), получим линейную алгебраическую систему трех уравнений относительно

с определителем:

.

Положим, что

. Тогда находят по формулам:

, (15)

, (16)

, (17)

где

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

.

Учитывая (15) – (17) в (14), получаем:

,

где

,

,

,

или

, (18)

где

.

Если считать функцию

известной, то (18) представляет собой интегральное уравнение Фредгольма второго рода с вырожденным ядром относительно . Обозначив

,

решение уравнения (18) будем искать в виде:

. (19)

После подстановки (19) в (18) имеем выражение:

.

Если

, то определяется по формуле:

. (20)

Учитывая (19), (20) в (18), получаем:

, (21)

где

,

.

В равенстве (21) учтем значение

. В результате будем иметь:

, (22)

где

,

,

,

,

,

.

Перепишем уравнение (22) в виде:

, (23)

где

.

В силу условий, наложенных на заданные функции

, можем заключить, что , следовательно .

Обращая интегральное уравнение Вольтерра второго рода (23), получаем:

, (24)

где

– резольвента ядра . Заметим, что резольвента обладает такими же свойствами, что и ядро [3].

Заменяя в равенстве (24) функцию

ее значением, получаем:

, (25)

где

,

.

Перепишем уравнение (25) в виде:

, (26)

где

.

Решение уравнения (26) будем искать в виде:

, (27)

где

.

Поступая аналогично предыдущему случаю, получим

, если .

Таким образом, имеем:

, (28)

где

.

Уравнение (28) перепишем в виде:

, (29)

где

.

Решение уравнения (29) ищем в виде:

, (30)

где

.

Подберем теперь постоянную

так, чтобы определенная формулой (30) функция была решением интегрального уравнения (29). С этой целью внесем выражение (30) для в левую часть (29). После простых вычислений получаем:

,

откуда

,

где положено, что

.

Таким образом, имеем:

. (31)

Полагая в равенстве

, находим

,

если

, т.е.

.

Пусть теперь имеет место случай 2), причем :

.