Об одной общей краевой задаче со смещением для нагруженного уравнения третьего порядка с кратными характеристиками (стр. 3 из 3)
В этом случае уравнение (6) принимает вид:
, (32)где
.Учитывая условие (7), из (32) получаем соотношение
, 
. Подставляя это значение в (32), находим 
. (33)Подставляя (33) в (10), получаем нагруженное уравнение:
, (34)где
, 
, 
, 
с внутренне-краевыми условиями (12).
Рассмотрим частный случай, когда
, т.е. 
= 
; 
, т.е. 
; 
, т.е. 
.Тогда общее решение однородного уравнения
имеет вид [4]: 
где
.Пусть
. Методом вариации постоянных находим общее решение неоднородного уравнения (34) в виде: 
, (35)где
, 
.Удовлетворяя (35) условиям (12), получаем:
, 
,где
, 
, 
, причем выполняется условие 
, т.е. 
.Равенство (35) перепишем в виде:
, (36)где
, 
.Из (36) при
, имеем 
,если выполняется условие
, т.е. 
.Пусть имеет место случай 3), причем
, 
. Тогда уравнение (6) принимает вид [1]: 
. (37)Полагая в равенстве (37)
и, учитывая условия 
, получим: 
.Следовательно, для
имеем представление 
, (38)где
.Если выполняется условие 4) и функции
, причем , то имеем равенство 
. (39)Полагая в равенстве (39)
и, учитывая условие 
, находим 
.Таким образом, имеем, что
. (40)Полагая в равенствах (38), (40)
, найдем 
, а затем, подставляя их в равенство (10), однозначно найдем неизвестную функцию 
.Случай
исследуется аналогично.После определения функций
решение задачи 
в области 
задается формулой (4), а в области 
приходим к задаче (1), (2), 
.Решение этой задачи дается формулой [5]:
, (41)где
.Отсюда, полагая в равенстве (41)
, получаем систему интегральных уравнений типа Вольтерра второго рода: 
(42)где
, 
.В силу свойств функции
и ядер системы (42), нетрудно убедиться, что система уравнений (42) допускает единственное решение в пространстве 
[3].Список литературы
Наджафов Х.М. Об одной общей краевой задаче со смещением для уравнения Лаврентьева-Бицадзе // Известия КБНЦ РАН. Нальчик, №1(8), 2002.
Фадеев Д.К. Лекции по алгебре. М.1984.
Мюнтц Г. Интегральные уравнения. Л.-М., Т.1, 1934.
Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Наука, 1971.
Джураев Т.Б. Краевые задачи для уравнений смешанного и смешанно-составного типов. Ташкент: Фан, 1979.