Об одной общей краевой задаче со смещением для нагруженного уравнения третьего порядка с кратными характеристиками (стр. 1 из 3)

Об одной общей краевой задаче со смещением для нагруженного уравнения третьего порядка с кратными характеристиками

Кодзодков А.Х.

Кафедра математического анализа.

Кабардино-Балкарский государственный университет

Рассмотрим линейное нагруженное уравнение третьего порядка:

(1)

в – области

, ограниченной отрезками

прямых

соответственно при

и характеристиками

уравнения (1) при

;

– интервал

Здесь положено, что:

или 2)

Пусть имеет место случай (1).

Задача

. Найти функцию

со следующими свойствами: 1)

;

– регулярное решение уравнения (1) при

;

удовлетворяет краевым условиям

; (2)

, (3)

где

– аффиксы точек пересечения характеристик уравнения (1) при y < 0, выходящих из точки

с характеристиками АС и ВС соответственно;

Опираясь на однозначную разрешимость задачи Коши для уравнения (1) при y < 0 с начальными данными

, легко видеть, что если существует решение задачи

, то оно представимо в виде:

. (4)

Учитывая (4) в краевом условии (3), получаем:

, (5)

где

Следуя [1], обозначим через

первообразную функции

. Тогда уравнение (5) примет вид:

, (6)

, (7)

где

Относительно коэффициентов уравнения (6) будем рассматривать аналогичные ситуации, приведенные в работе [1]:

, т.е.

;

, , т.е.

;

, т.е.

;

, т.е.

Пусть имеет место случай (1) и функции

. Решение задачи (6), (7) в этом случае имеет вид:

, (8)

где

Дифференцируя равенство (8) и делая несложные преобразования, получаем:

(9)

где

Переходя к пределу в уравнении (1) при

, получаем функциональное соотношение между

, принесенное из области

, на линию

. (10)

В силу граничных условий (2) и равенства (9) получим нелокальную задачу для нагруженного неоднородного интегро-дифференциального уравнения третьего порядка с переменными коэффициентами:

, (11)

, (12)

где

В начале положим, что

, т.е.

В зависимости от значений корней характеристического уравнения

, (13)

соответствующего однородному уравнению (11) (

), будем исследовать разрешимость задачи (11), (12).

Введем обозначение

. Логически возможны три различных случая: 1) S>0, 2) S=0, 3) S<0.

Известно, что [2]: 1) если S>0, то уравнение (13) имеет только один действительный корень, а два остальных корня будут сопряженными чисто комплексными числами; 2) если S=0, то все три корня уравнения (13) действительны, причем два из них равны; 3) если S<0, то все три корня уравнения (13) действительны, причем все они различны.

Пусть S=0, т.е.

Общее решение уравнения (11) в этом случае имеет вид:

, (14)

где