Геометрические свойства регулярного круглого конуса в пространстве (стр. 3 из 3)
4.5. Пусть x1 < 0 и элемент х не принадлежит конусу –К1, т.е. –x1 <
.Если а = (a1, ..., аn) Î М(x), то ||a-x|| = ||x–|| = d(x, К1) =
–x1или
или
Откуда a1=
- 
≥ 
. В то же время ≥ 
+ ≥ . Из последнего неравенства получаем, что (ak – xk) и (xk) – одного знака для любого k, т. е. аk = ak xk, где 0 ≤ ak ≤ 1 для любого 
. Тогда a1= – 
= 
. Получаем, что (4.4) верно и для этого случая.5. Описание множества M(x)∩K1
Интересен вопрос о взаимоотношении множества положительных частей элемента и множества элементов, на которых достигается расстояние от элемента до конуса.
Пусть элемент x принадлежит конусу К1. В этом случае М(х) = {x}, а Х+ = {
(Х + x1(1 + λ), x2(1 + λ2), ..., xn(1 + λn)), 0 ≤ λ, λk ≤ 1, 
= x1(1 – λ)}. При λk = 1 получим λ = 0 и Х+ = {x}, т.е. М(х) ∩ Х+ = {x} и М(х) Ì Х+.Пусть элемент x принадлежит конусу –К1. Если аÎ М(x)∩Х+, то, учитывая формулы 4.2 и 2.2, получим:
( 
+ x1(1 – λ), x2(1 – λ2), ... , xn(1 – λn)).Из этого равенства следует, что
) при λk Î[0,1]. Итак, для любого λk, 
найдется 
такое, что из того, что а Î Х+ следует, что а Î М(х). Обратное не всегда верно. В итоге получаем включение М(x) ∩ Х+ = X+ .5.3. Пусть x1 = 0 и элемент x не принадлежит конусу. Воспользовавшись формулами 4.3 и 2.1, получим М(х) ∩ Х+ = Х+.
5.4. Пусть x1 > 0 и элемент x не принадлежит конусу. Если элемент принадлежит М(х) ∩ Х+ , то выполняется равенство:
( + x1(1 + λ), x2(1 + λ2), ..., xn(1 + λn)),что равносильно системе
Данные равенства выполняются, если λk такие, что λ = 0. В этом случае
, т.е.М(x)∩Х+=
.5.5. Пусть x1 < 0 и элемент х не принадлежит конусу –К1. Если элемент принадлежит М(х) ∩ Х+ ,то выполняется равенство:
( + x1(1 - λ), x2(1 - λ2), ..., xn(1 - λn)),что равносильно системе
Данные равенства выполняются, если
], т. е. М(x) ∩ Х+ = М(х).Список литературы
Вулих Б. 3. Введение в теорию конусов в нормированных пространствах. Калинин.: Изд-во КГУ, 1977.
Вулих Б. 3. Специальные вопросы геометрии конусов в нормированных пространствах. Калинин.: Изд-во КГУ, 1978.
Красносельский М. А. Положительные решения операторных уравнений. М.: Физматгиз. 1962.
Вишняков Ю. Г., Худалов В. Т. Описание всех регулярных круглых конусов в
. Вестник СОГУ. Естественные науки. 1999. № 1.Худалов В. Т. Упорядоченные банаховы пространства и их приложения. Владикавказ: Иристон, 1999.
Коробова К. В. О геометрии регулярных круглых конусов в пространствах
и l1.–Владикавказский мат. журн. 2003. Т. 5, № 3.