Формирование понятия комплексного числа в курсе математики средней школы (стр. 10 из 12)
После рассмотрения геометрической интерпретации комплексного числа, уже после разбора нескольких заданий, ребята в быстром темпе и с необходимыми объяснениями решали предложенные задания.
Упражнениям на закрепление было отведено третье занятие. В начале проводился фронтальный опрос. Учащиеся активно отвечали на вопросы, помогали тем, кто затруднялся, некоторые делали хорошие добавления, в основном, конечно, это сильные учащиеся. Учащиеся со средней и слабой успеваемостью, в основном, усвоили алгоритмы решения задач, а теоретические положения темы если и запомнили, то поверхностно, формально. Неточно формулировали определения комплексного числа, например, комплексные числа – это числа вида а+bi, где i2=‑1. Но здесь важно такое уточнение, что a и bÎR.
Был предложен ряд упражнений, которые ребята решали на местах, но тем учащимся, у которых возникали вопросы по ходу решения, например, что бы решить задачу z2‑(5+2i)z+5+5i=0 нужно ли расписывать z в виде x+yi, предлагалось выйти к доске и найти самим ответ на свой вопрос с помощью класса или самостоятельно. Если ученик разберется в этом сам, то в следующий раз он уже будет видеть сразу способ решения.
На следующих двух занятиях мы рассматривали переход от алгебраической формы комплексного числа к тригонометрической и обратно. На предыдущем занятии им было задано повторить формулы тригонометрии, т.к. они нам понадобятся на этом занятии. После объяснения новой темы и демонстрации примера, одним из учащихся был задан хороший вопрос: “Почему переводя число
в тригонометрическую форму мы берем аргумент 
, а не 
?”. После недолгих рассуждений всем классом мы выяснили, что 
не является тригонометрической формой комплексного числа. Далее выполняя задачи на закрепление ребята проговаривали каждый шаг решения и объясняли его. Учащиеся, которые решали вперед, помогали тем, у кого возникали затруднения.На шестом и седьмом занятиях мы разбирали действия над комплексными числами в тригонометрической форме – умножение, деление, возведение в степень, извлечение корня n‑ой степени. После рассмотрения операции умножения ребята сделали верное предположение относительно деления комплексных чисел в тригонометрической форме. А далее, по аналогии с умножением, сами нашли правила возведения комплексного числа в натуральную степень. После того как разобрали примеры, перешли к извлечению корня. Как и предполагалось, у учащихся эта тема вызвала некоторые затруднения. Ребята иногда путали в формуле
какая буква k или n пробегает значение от 0 до (n-1). Но после решения ряда закрепляющих задач у большинства учащихся сложилось четкое представление этого понятия. Также мы постарались разобрать как можно больше упражнений, чтобы у ребят не осталось неясных мест, пробелов. В работу старались включить как можно больше учащихся: проводили комментированное письмо, где каждый шаг решения объясняли разные учащиеся. Сразу несколько задач было решено на доске, но рассказать, пояснить решения пытались другие ученики. Старались включить в работу как можно больше слабых учащихся.Восьмое и девятое занятия были посвящены решению упражнений, нахождению корней уравнений. На каждом занятии выделялось время, чтобы повторить некоторые моменты из предыдущих тем, чтобы не нарушать целостности темы, чтобы была системность и общность понимания. Т.к., в основном, алгоритмы решения данных задач им известны из предыдущего материала, то акцент делался на идею решения задачи. Многие ребята шли вперед и решали резервные задания. Далее класс разбился по парам, в составе которых, были, по возможности, сильный и слабый учащиеся, и продолжали решать на местах в парах. Учитель в это время следил за работой, помогал тем, у кого возникали сомнения. Хочется отметить, что чаще были вопросы по оформлению, чем по содержанию материала.
На некоторых занятиях проводились небольшие самостоятельные работы, тематические диктанты, чтобы выяснить насколько полно учащиеся освоили данное понятие, умеют ли они ими пользоваться при решении задач, знают ли связи между понятиями. Мы отмечали, что такая работа важна в первую очередь для них, т.к. они могут самостоятельно оценить уровень своих ЗУН по данным темам. Также два раза задавались на дом творческие задания, т.е. нужно было придумать самостоятельно задачу и решить ее. Сильные учащиеся очень ответственно отнеслись к этим заданиям. Но вот слабые иногда пользовались трудом своих одноклассников.
Но в целом ребята проявили большую заинтересованность, говорили, что особых трудностей тема не вызвала, это подтвердила контрольная работа. проведенная на последнем – десятом – занятии.
Заключение
Таким образом, после работы с научной и методической литературой по изучаемой теме делаем следующие выводы:
- мышление старшеклассников становится более глубоким, полным, разносторонним и все более абстрактным;
- учебная деятельность старших школьников предъявляет гораздо более высокие требования к их активности и самостоятельности;
- развитию мышления способствует работа над научными понятиями. Процесс формирования понятия – это длительный и сложный процесс, которому следует уделять достаточное внимание.
Разрабатывая логическую структуру темы “Комплексные числа” и после проведения эксперимента в школе можем сделать следующие выводы:
1) Изучение этой темы преследует следующие основные цели:
-повышение математической культуры учащихся;
-углубление представлений о понятии числа;
-дальнейшее развитие представлений о единстве математики как науки.
2) Учащиеся способны в 10 классе усвоить понятие комплексного числа, как показало экспериментальное исследование.
3) Учащиеся вполне успешно усваивают содержание и объем понятия комплексного числа, связи и отношения данного понятия с другими, а также умеют оперировать этим понятием при решении практических задач.
Методические рекомендации
Предлагаем следующую расчасовку по темам, учитывая включение в учебный план общеобразовательного курса темы “Комплексные числа”:
Х класс (85ч).
1. Тригонометрические функции (15ч).
2. Тригонометрические уравнения (13ч).
3. Комплексные числа (14ч).
4. Производная (16ч).
5. Применение производной (20ч).
6. Повторение. Решение задач (7ч).
XI класс (68ч).
1. Повторение. Решение задач (6ч).
2. Первообразная и интеграл (16ч).
3. Показательная, логарифмическая и степенная функции (26ч).
4. Повторение. Решение задач (20ч).
Тему “Комплексные числа” благоприятнее всего вводить в 10 классе в I полугодии, когда сформировано представление о действительном числе и пройден курс тригонометрии.
Литература
1. Алгебра и начала анализа./Под ред. Яковлева Г.Н. Ч2 - М.: 1987.
2. Андронов И.К. Математика действительных и комплексных чисел. – М.: Просвещение, 1975.
3. Брадис В.М. Методика преподавания математики в средней школе. – М.: 1951.
4. Виленкин Н.Я. Алгебра и математический анализ 11. – М.: Просвещение, 1995.
5. Вопросы общей методики преподавания математики. – М.: Просвещение, 1979.
6. Демидов В.П. Методика преподавания математики. – Саранск, 1976.
7. Крамор В.С. Алгебра и начала анализа. – М.: Высшая школа, 1981.
8. Крутецкий В.А. Психология. – М.: Просвещение, 1980.
9. Крутецкий В.А. Психология обучения и воспитания школьников. – М.: Просвещение, 1976.
10. Кузмин Р.О., Фадеев Д.К. Алгебра и арифметика комплексных чисел. – Л.: Изд. Наркомпроса РСФСР, 1939.
11. Лылова О.В. Комплексные числа и их обобщение.//Дипломная работа. – Оренбург, 1994.
12. Метельский Н.В. Дидактика математики. – Минкс: Изд-во БГУ им. В.И. Ленина, 1982.
13. Методика преподавания математики в средней школе. Общая методика./Оганесян В.А. и др. – М.: Просвещение, 1980.
14. Методика преподавания математики в средней школе. Общая методика. – М.: Просвещение, 1985.
15. Методика факультативных занятий в 9-10 классах. Избранные вопросы математики. – М.: Просвещение, 1983.
16. Немов Р.С. Психология. Общие основы психологии. Т1. – М.: 1995.
17. Немов Р.С. Психология. Психология образования. Т2. – М.: 1995.
18. Педагогика./Под ред. Пидкасистого П.И. – М.: Пед. общество России, 1998.
19. Петровский А.В. и др. Психология. – М.: Академия, 1998.
20. Подласый И.П. Педагогика. – М.: Просвещение, 1996.
21. Поспелов Н.Н. и др. Формирование мыслительных операций у старшеклассников. – М.: Педагогика, 1989.
22. Программно-методические материалы. Математика 5-11 классы. Сборник нормативных документов. – М.: Дрофа, 1998.
23. Программно-методические материалы. Математика 5-11 классы. Тематическое планирование. – М.: Дрофа, 1998.
24. Психология. Словарь. – М.: Изд. политической литературы, 1990.
25. Сергиенко Л.Ю. и др. Планирование учебного процесса по математике. – М.: Высшая школа, 1987.
26. Сластенин В.А. и др. Педагогика. – М.: 1998.
27. Хинчин А.Я. Педагогические статьи. – М.: Академия пед. наук РСФСР, 1963.
28. Холодченко А.А. Проблемные задачи как основа для дифференциации обучения в старших классах.//Дипломная работа. – Оренбург, 1997.
Приложение 2 Теоретические основы курса “Комплексные числа”
§ 1 Развитие понятия числа, комплексные числа, алгебраическая форма, действия над комплексными числами, заданными в алгебраической форме. Комплексная плоскость. Геометрическая интерпретация комплексного числа, их суммы и разности.