Формирование понятия комплексного числа в курсе математики средней школы (стр. 11 из 12)

При изучении математики мы уже неоднократно встречались с обобщением понятия числа. До сих пор мы рассматривали лишь действительные числа. Если введение действительных чисел позволяет выражать результаты любых измерений, то с задачей решения уравнений дело обстоит иначе. Например, уравнения

х² + 1=0 и х² +4х +5=0 не имеют решения во множестве действительных чисел, хотя коэффициенты этих уравнений – целые числа. Поэтому возникает необходимость в дальнейшем расширении понятия числа. Таким обобщением множества действительных чисел и является множество С комплексных чисел.

Комплексные числа часто называют мнимыми. Это название не вполне удачно, т.к. может создать представление о комплексных числах как о чём-то нереальном. Оно объясняется тем, что, хотя комплексные числа стали употребляться ещё в XVI в., они долго продолжали казаться даже выдающимся математикам чем-то реально не существующим, мнимыми в буквальном смысле этого слова. Одному из создателей дифференциального и интегрального исчисления, немецкому математику Г.Лейбницу (1646-1716) принадлежат, например, такие слова: „Комплексное число – это тонкое и поразительное средство божественного духа, почти амфибия между бытием и небытием”. Сейчас от всей этой мистики не осталось ничего, кроме, пожалуй, названия “мнимые числа”. Уже во времена К.Гаусса (1777-1855) было дано геометрическое истолкование комплексных чисел как точек плоскости. Трудами выдающихся математиков XIX века О.Коши, Г.Римана и К.Вейерштрасса на базе комплексных чисел была построена одна из самых красивых математических дисциплин – теория функций комплексной переменной.

Повторить с учащимися известные им сведения о числовых множествах:

а) натуральных чисел N={1,2,3,…,n,…};

б) целых Z={…,-2,-1,0,1,2,…};

в) рациональных Q={

,n Z, n N};

г) действительных чисел R.

С помощью положительных действительных чисел можно выразить результат любого измерения, а с помощью произвольных действительных чисел – изменение любой величины. Арифметические операции над действительными числами снова дают действительные числа. Операция же извлечения квадратного корня определена не для всех действительных чисел, а лишь для неотрицательных – из отрицательного числа квадратный корень извлечь нельзя.

Ряд вопросов, возникших при решении уравнений третьей и четвертой степеней, привел математиков к необходимости расширить множество действительных чисел, присоединив к ним новое число i, такое, что i²=-1.Поскольку действительных чисел с таким свойством не существует, новое число назвали “мнимой единицей” – она не выражала ни результатов измерения величин, ни изменений этих величин. Но включение числа i потребовало дальнейшего расширения множества чисел – пришлось ввести произведение этого числа на все действительные числа, т.е. числа вида bi, где b

R, а также суммы действительных чисел и таких произведений, т.е. числа вида a+bi, где a,b R. Получившиеся при этом числа были названы комплексными, т.к. они содержали как действительную часть a, так и чисто мнимую часть bi.

Опр: комплексными числами называются числа вида a+bi (a и b - действительные числа, i²=-1).

Если z=а+bi - комплексное число, то а называют его действительной частью, а b-мнимой частью. Приняты обозначения a=Rez, b=Jmz (от французских слов re¢ele - действительный и imaginaire - мнимый). Числа a+bi, для которых b¹0, называют мнимыми числами, а числа вида bi, b¹0,- чисто мнимыми числами.

Множество комплексных чисел обозначается С.

Два комплексных числа z₁=a+biи z₂=с+di считаются равными друг другу в том и только в том случае, если а=с и b=d. В частности, число a+bi будет считать равными нулю, если a=0 и b=0.

Запись z=a+bi называется алгебраической формой комплексного числа.

Действия над комплексными числами:

1. Сложение: (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i

Например , (2+3i)+(5-7i)=(2+5)+(3-7)i=7-4i.

2. Умножение: (a+bi)*(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i , причем нужно помнить, что i² =-1. Эту формулу можно получить, умножая

(a+bi) на (c+di) по правилам действий над многочленами.

Например, (1+2i)(3-i) =3*1-1*i+6i-2i² =3+2-i+6i=5+5i.

Рассмотрим степени числа i :

i¹ =i ; i² =-1; i³ =i²*i =-1*i =-i; i⁴ =i²*i² =(-1)(-1) =1; i⁵=i³*i²=-i(-1)=i; i⁶= =i⁵*i=i*i=-1=i²; …

Вообщее, i^4n+r =(i⁴)ⁿ*i^r =(1)ⁿ *i^r =i^r.

Получаем, i^4m=1; i^4m+1=i; i^4m+2=-1; i^4m+3=-i.

Например, i²¹⁸=i^4*54+2=i²=-1.

3. Вычитание: (a+bi) - (c+di) = (a-c) + (b-d)i

Например, (5+4i) - (2-3i) = (5-2) + (4+3)i = 3+7i.

Опр: Два комплексных числа называются сопряженными, если они отличаются лишь знаком мнимой части.

Если z=a+bi, то сопряженное число имеет вид z=a-bi. Заметим, что z+z=(a+bi)+(a-bi)=2a; z*z=(a+bi)(a-bi)=a²+b² . Следовательно, сумма и произведение двух сопряженных комплексных чисел являются действительными числами.

4. Деление: на практике при делении комплексных чисел удобно домножить числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное знаменателю:

a+bi = (a+bi)(c-di) = (ac+bd)+(bc-ad)i = ac+bd + bc-ad i

c+di (c-di)(c-di) c² + d² c²+d² c²+d²

Например, 10+15i = (10+15i)(1-2i) _ 10-20i +15i +30 = 40-5i = 8-i

1+2i (1+2i)(1-2i) 1 + 4 5

Геометрическая интерпретация комплексных чисел.

Как известно, действительные числа можно изображать точками на координатной прямой. А комплексное число естественно выражать точкой на координатной плоскости.

Каждому комплексному числу a+bi поставим в соответствии точку M(a;b) координатной плоскости, т.е. точку, абсцисса которой равна действительной части комплексного числа, а ордината - мнимой части. Каждой точке M(a; b) координатной плоскости поставим в соответствие комплексное число a+bi (рис.1).

Очевидно, что получаемое при этом соответствие является взаимно однозначным. Сама координатная плоскость называется комплексной плоскостью. Действительным числам соответствуют точки оси абсцисс, которая называется действительной осью, а чисто мнимым числам - точки оси ординат, которая называется мнимой осью.

Не менее важной и удобной является интерпретация комплексного числа a+bi как радиус-вектора ОМ (см. рис.1), т.е. вектора, исходящего из начала координат О (о,о) и идущего в точку М (а;b). Разумеется, вместо радиус-вектора ОМ можно взять любой равный ему вектор.

Изображение комплексных чисел с помощью векторов удобно тем, что при этом получают простое геометрическое истолкование операций над ними. При сложении чисел z₁=a₁+b₁i и z₂=a₂+b₂i складываются их действительные и мнимые части. При сложении соответствующих им векторов ОМ₁ и ОМ₂ складываются их координаты. Иными словами, если числу z₁ соответствует вектор ОМ₁, а числу z₁-вектор ОМ₂, то числу z₁+z₂ соответствует вектор ОМ₁+ОМ₂, а числу z₁-z₂ - вектор ОМ₁- ОМ₂.

Перейдем к рассмотрению понятия модуля комплексного числа. Опр: Модулем комплексного числа называется длина вектора соответствующего этому числу.

Для модуля числа z используется обозначение /Z/ или r. По теореме Пифагора (см. рис.1) для модуля комплексного числа z=a+bi легко получается следующая важная формула: /Z/=Öa²+b², выражающая модуль числа через его действительную и мнимую части. Отмети, что /z/ = /-z/ = /z/, z*z = /z/² = /z/².

Упражнения:

1. (2Ö3 - 4iÖ2) - (Ö27 - iÖ32) + (2 + 2i

Ö3 Ö3 ;

2. (m - n i) + ( n - m i - (( 1 - 1 i) - 1 - 1 i)) ;

n m m n n m m n

3. 2i (1 + Ö3 i) ( -1 + Ö3 i );

2 2 2 2

4. Найдите комплексные числа:

а) z =i + 6i+1б) z = i¹³+ i¹⁴ + i¹⁵ +i¹⁶ ; в) z = 3+1 : 2

1+7i 3-i 5(1-i)

г) z = (1+2i)³ - (1-i)³ ; д) z = (2+i)⁵е) z = 5+12i + (1+2i)²

(3+2i)³- (2+i)² 8-6i 2+i

ж) z = (-0,5 + i Ö3) ³

2

5. Изобразить геометрически комплексные числа:

а) 3+0i; б) 0-5i; в) -3+2i; г) 1+i.

6. Найдите действительную часть комплексного числа:

z= (1+2i) + i¹⁹ ;

мнимую : z= (2-i)³ (2-11i).

7. Найти модуль к.ч. z= -2+ i*5, число, сопряженное данному, изобразить их геометрически.

8. Выполнить сложение алгебраически и дать геометрическую интерпретацию: z= z₁ +z₂ +z₃, где z1 = 3-2i; z₂=-3+4i; z₃ = 2- i.

9. Найти два действительных числа Х и У, удовлет их равенствам:

а) 2i + iу -2 = 3i - 3 =у

х х

б) (1+i)x + (1-i)у = 3-i;

в) (2x-3уi)(2x+3уi) +xi = 97+2i.

§2. Действия над комплексными числами, заданными

в алгебраической форме. Решение задач.

Провести комбинированный опрос. Фронтальный опрос провести по вопросам:

1. Обозначение числовых множеств и их соотношения.

2. Почему появилась необходимость введения комплексных чисел?

3. Определение комплексных чисел, частные случаи, основные соглашения.

4. Определения сопряженных и противоположных комплексных чисел, модуля комплексного числа.

5. Геометрическая интерпретация комплексных чисел, сопряженных и противоположных комплексных чисел.

6. Действия над комплексными числами, заданными в алгебраической форме (определения и свойства).

7. Действия над комплексными числами, геометрическая интерпретация их суммы и разности.

8. Действия над сопряженными и противоположными комплексными числами (их сумму и разность показать геометрически).

9. Можно ли сравнивать комплексные числа?

10. Какие закономерности имеются у степени мнимой единицы.