Смекни!
smekni.com

Формирование понятия комплексного числа в курсе математики средней школы (стр. 12 из 12)

Индивидуальный опрос полезно провести по карточкам. Примерное содержание одного варианта:

1. Вычислить: а) (3+5i) + (2+i) = . . . . .; б) (3+5i) - (4-i) = . . . .;

2. Возвести в степень: а) i123 = . . . ; б) (i-1)2 = . . . .

3. Вычислить: (Ö3 + iÖ2) (Ö3 - iÖ2) = . . . .

4. Построить слагаемые и сумму комплексных чисел на комплексной плоскости: z1=1-5i; z2=2+3i.

5. Построить уменьшаемое, вычитаемое и разность комплексных чисел на комплексной плоскости: z1=1-i; z2=3i.

Упражнения:

1. Выполнить действия: а) [2i (3-4i)]2 =; б) a-bi - ib-ai = ;

b+ai a+bi

в) i100 + i98 +i63 =;

2. Н основании равенства комплексных чисел, найти действительные числа Х и У, если а) 2+5ix - 3уi = 14i + 3x -5y; б) x2 -7x +9yx = y2i +20i -12.

3. При каких действительных значениях Х и У комплексного числа

а) 5 + ixy и x + y +4i; б) 9y2 - 4 - 10x и 8y2 + 20i7 Будут сопряженными?

4. Решите уравнения: а) (i-z) (1+2i) + (2-iz) (3-4i) = 1+7i;

б) z2 - (5+2i) z + 5 + 5i =0; в) z2 + z =0; г) (1-i) z - 3iz = 2-i; д) z*z + 2z =3+2i;

е) z*z + 3(z-z) - 4+3i.

5. Решите уравнения: а) /z/ = 2i (z+1); б) /z/ = i (2z+i); в) /z/ - iz = i-2i;

г) z2 + 3/z/ =0; д) z2 + /z/2 =0.

8. Какое множество точек комплексной плоскости задается условием:

а) /z/ <1; б) /z/ =2; в) Rez > 1; г) Jmz < -2; д) /z+i/ =2; е) /z-2/ <3; ж) /z-4 +i/ £5.

7. Точка А соответствует комплексному числу z = 3+ i4. Какое комплексное число соответствует точке симметричной точке А, относительно: а)оси Ох; б) оси Оу; в) начала координат?

8. На комплексной плоскости даны точки z1, z2 , z3 являющиеся вершинами некоторого треугольника. Найдите все комплексные числа, соответствующие точками, дополняющим данный треугольник до параллелограмма.

9. Изобразить: а) /z/ £3 б)/z/³ 1 в) /z-1/³ 2

/z-3i/³3 /z-2i/£2 -1< Rez<2

г) 1£ /z-1/£ 2 д) /z/ £3

0£Jmz£Ö3 1< Jmz <2.

§ 3 Тригонометрическая форма комплексного числа.

Переход от алгебраической формы комплексного числа к тригонометрической и обратно.

Повторить с учащимися алгебраическую форму комплексного числа; геометрическую интерпретацию комплексного числа; модуль комплексного числа и основные соотношения, связанные с ним.

Пусть точка А соответствует комплексному

числу z=a+bi. Тогда длина вектора ОА называется

модулем числа z, а радианная мера угла,

образованного этим вектором с

положительным направлением действительной оси, - аргументом комплексного числа Z. Причем величина угла считается положительной, если отсчет ведется против часовой стрелки, и отрицательной, если отсчет производится по часовой стрелке. Модуль обозначается /z/ = r, а аргумент - argz = j (см. рис. 2).

Для числа z=0 аргумент не определяется, но в этом и только в этом случае число задается только своим модулем. Если комплексное число является действительным, то соответствующий ему вектор расположен на действительной оси, и понятие /z/ совпадает с известным понятием модуля действительного числа.

Заданием модуля и аргумента комплексное число определяется однозначно. Но аргумент комплексного числа, в отличие от модуля, определяется не однозначно. Любые два аргумента комплексного числа отличаются друг от друга слагаемым, кратным 2p.

На рис. 2 мы видим, что sinj = b/r, а cosj =a/r, отсюда а=rcosj и b=rsinj, где r =Öa2 + b2, т.о. действительная и мнимая части комплексного числа z=a+bi выражаются через его модуль /z/=r и аргумент j. Следовательно, комплексное число z может быть записано в виде z=rcosj + irsinj=r(cosj+isinj) - тригонометрическая форма записи комплексного числа.

Полезно составить с учащимися алгоритм перехода из алгебраической формы комплексного числа в тригонометрическую:

1. Найти радиус r = Öa2 + b2

2. Вычислить tgj1 =|b/a|.

3. По знакам a и b определить четверть, в которой находится число z.

4. Найти j, причем, если число находится:

а) в I четверти, то j = j1;

б) во II четверти, то j = p - j1;

в) в III четверти, то j = p + j1;

г) в IV четверти, то j = -j1, или j = 2p -j1.

5. Записать комплексное число в тригонометрической форме:

z = r (cos j + i sin j).

Или, чтобы не производить лишних вычислений, для того чтобы найти значение для j по известным значениям sinj и cosj, заполним таблицу и будем ею пользоваться:

j 0 p6 p4 p3 p2 p 5p6 3p4 2p3 3p2 4p3 4p4 7p6 5p3 7p4 11p 6 2p
sinj 0 12 Ö2 2 Ö3 2 1 0 1 2 Ö2 2 Ö3 2 -1 -Ö3 2 -Ö2 2 -1 2 -Ö3 2 -Ö2 2 -1 2 0
cosj 1 Ö3 2 Ö2 2 1 2 0 -1 -Ö32 -Ö2 2 - 1 2 0 -1 2 -Ö2 2 -Ö3 2 12 Ö2 2 Ö3 2 1

Переход от тригонометрической формы комплексного числа к алгебраической производится подстановкой в выражение z=r (cosj + isinj) числовых значений cosj и sinj, затем раскрываются скобки и производятся упрощения.

Например: 1) z = 1+i /z/ r =Ö 12+12 =Ö2

sinj = 1 =2 cosj = 1 = 2 Þj = 450

Ö2 2 Ö2 2

т.о z = a + bi = 1 + i = Ö2 (cos 450+ isin 450 =Ö2 (cos p + sin p)

4 4

2. z = 6( cosp + isin p) = 6 (-1 + i*0) = 6*-1 = -6 Þz = -6.

Упражнения:

1. Представьте в тригонометрической форме комплексные числа:

а) Ö3-i ; б) 6+6i ; в) -2 ; г) i ; д) -1 - Ö3 i е) -3 (cos p + isin p

2 2 ; 7 7 ;

ж) sin 48° + cos 48° ; з) 1 + cos 10p+ isin 10p

9 9

2. Представьте в алгебраической форме комплексные числа :

а) z = 2 (cos 225° + isin 225°) ; б) z=3 (cos0° + isin 0°) ;

в) z = 5(cos p + isin p ; г) z = 2(cos p + isin p

2 2 3 3

3. Построить комплексные числа? А) z=2 (cos p + isin p )

4 4

б) z = cosp + isin p ; в) z =2 (cos 3p + isin 3p

4 4