2.3. Логика темы “Комплексные числа”
2.3.1. Объяснительная записка
Тема “Комплексные числа” развивает и углубляет заложенные в основном курсе математики представления о многочленах и числах, в известном смысле завершая путь развития понятия числа в средней школе.
Изучение этой темы преследует следующие основные цели:
1. повышение математической культуры учащихся;
2. углубление представлений о понятии числа;
3. дальнейшее развитие представлений о единстве математики как науки.
Следует отметить важное прикладное значение данной темы ввиду обилия приложения изучаемых понятий как внутри самой математики, так и в различных областях физики, техники и других наук, использующих математический аппарат.
После изучения темы “Комплексные числа” ребята должны иметь четкое представление о комплексных числах: знать алгебраическую, геометрическую и тригонометрическую формы комплексного числа. Учащиеся должны уметь производить над комплексными числами операции: сложение, умножение, вычитание, деление, возведение в степень, извлечение корня из комплексного числа; переводить комплексные числа из алгебраической формы в геометрическую и тригонометрическую.
Тему “Комплексные числа” благоприятнее всего вводить в 10 классе в I ом полугодии, когда сформировано представление о действительном числе и пройден курс тригонометрии.
Исходя из объема, трудности материала; а также из основных принципов дидактики, психологических и возрастных особенностей учащихся предлагаем:
2.3.2. Почасовое планирование
Комплексные числа (14 ч).
§ 1 Развитие понятия числа, комплексные числа,
алгебраическая форма, действия над комплексными
числами, заданными алгебраически. Комплексная
плоскость. Геометрическая интерпретация комплексных
чисел, их суммы и разности. 3 ч
§ 2 Действия над комплексными числами, заданными
в алгебраической форме. Решение задач. 2 ч
§ 3 Тригонометрическая форма комплексного числа.
Переход от алгебраической формы к тригонометрической
и обратно. 2 ч
§ 4 Действия над комплексными числами, заданными
в тригонометрической форме. Формула Муавра.
Извлечение корней из комплексных чисел. 3 ч
§ 5 Решение упражнений. Комплексные корни многочлена. 3 ч
§ 6 Зачет или дифференцированная проверочная работа. 1 ч
2.3.3. Тематическое планирование
Тема “Комплексные числа” содержит шесть параграфов. Ниже мы описываем каждый их них не углубляясь в теоретическую часть, она дана в приложении 2. Сначала формулируются цели данного блока, основные знания и умения. Далее даются методические рекомендации и план занятий каждого блока.
§1 Развитие понятия числа, комплексные числа, алгебраическая форма, действия над комплексными числами, заданными в алгебраической форме. Комплексная плоскость. Геометрическая интерпретация комплексных чисел, их суммы и разности.
Обучающая цель: Расширить понятие числа; ввести понятие комплексного числа и действий над комплексными числами, заданными в алгебраической форме.
Воспитательная цель: Прививать интерес к математике. Кратко познакомить учащихся с историей развития комплексных чисел. Комплексные числа, а также функции комплексного переменного широко применяются в электротехнике, теории упругости, гидродинамике, картографии, аэродинамике, ядерной физике, в теории автоматического регулирования и т.д.
Основные знания и умения. Знать: определения комплексного числа, мнимой единицы, модуля комплексного числа; формулировки основных соотношений; алгебраическую форму комплексного числа; определение сопряженных и противоположных чисел; действия над комплексными числами: сложение, умножение, вычитание, деление, геометрическую интерпретацию комплексных чисел, суммы и разности комплексных чисел. Уметь: выполнять действия над комплексными числами, заданными в алгебраической форме; строить комплексные числа на плоскости, строить их сумму и разность.
Методические рекомендации.
Вид занятий. Усвоение новых знаний.
Мотивация познавательной деятельности учащихся. Необходимо показать практическую и теоретическую значимость изучаемого материала. Тема “Комплексные числа” – одна из ведущих прикладных тем курса математики для техникумов электрорадиоспециализации, её содержание углубляется в общетехнических предметах, например в теоретических основах электротехники, основах радиотехники и др.
Последовательность изложения нового материала.
1. Комплексные числа. Основные понятия и определения. Основные соглашения.
2. Геометрическая интерпретация комплексных чисел.
3. Действия над комплексными числами в алгебраической форме.
4. Геометрическая интерпретация суммы и разности комплексных чисел.
План занятий.
Повторение опорных знаний учащихся. Повторить с учащимися известные им сведения о числовых множествах.
Более подробно следует остановиться на причинах появления новых числовых множеств.
Изучение нового материала. Необходимо сделать замечание: комплексные числа не сравнимы между собой по величине, т.к. точки, им соответствующие, не лежат на одной оси. Не имеет смысла вопрос, какое из двух комплексных чисел больше или меньше. Может идти речь только о том, у какого из двух комплексных чисел больше модуль, комплексные числа сравнимы только по модулю.
Обобщение и систематизация знаний. Необходимо отметить, что сумма, разность, произведение и частное комплексное число есть также комплексное число. Действия сложения и умножения комплексных чисел подчиняются тем же законам, что и действительные числа, т.е. обладают коммутативностью, ассоциативностью и дистрибутивностью:
а) z1 + z2 = z2 + z1; z1z2 = z2z1;
б) (z1 +z2) + z3 = z1 +(z2 +z3); (z1z2)z3 = z1(z2z3);
в) z1(z2 + z3) = z1z2 + z1z3.
Множество действительных чисел является подмножеством комплексных чисел, т.е. RÌC.
Применение знаний при решении типовых примеров и задач. Система упражнений предлагается.
Подведение итогов занятия.
Домашнее задание.
§2 Действия над комплексными числами, заданными в алгебраической форме. Решение задач.
Обучающая цель: Научить выполнять действия над комплексными числами, заданными в алгебраической форме.
Воспитательная цель: В процессе решения упражнений воспитывать у учащихся сознательное отношение к процессу обучения, к овладению практическими умениями и навыками. При этом необходимо обращать внимание на воспитание продуктивного мышления и развития интереса к предмету.
Основные знания и умения. Уметь:выполнять действия над комплексными числами, заданными в алгебраической форме; строить комплексные числа на плоскости, строить их сумму и разность с помощью векторов.
Методические рекомендации.
Вид занятия. Формирование умений и навыков.
Мотивация познавательной деятельности учащихся. Опираясь на знания и первичные умения, полученные на предыдущих занятиях, обратить внимание учащихся на характер упражнений, на постепенное усложнение заданий, на связь с пройденными ранее темами.
План занятий.
Проверка домашнего задания. Провести комбинированный опрос. Фронтальный опрос провести по вопросам. Индивидуальный опрос полезно провести по карточкам.
Применение знаний при решении типовых примеров и задач. Решить примеры.
Творческое применение ЗУН.
Самостоятельное применение ЗУН. Провести самостоятельную работу в 2 – 6 вариантах.
Подведение итогов занятия.
Домашнее задание.
§3 Тригонометрическая форма комплексного числа. Переход от алгебраической формы комплексного числа к тригонометрической и обратно.
Обучающая цель: Дать понятие о тригонометрической форме комплексного числа, выработать у учащихся навыки перехода от алгебраической формы комплексного числа к тригонометрической и обратно.
Воспитательная цель: Обратить внимание учащихся, что умение правильно воспринимать, анализировать, сопоставить полученные знания с изученным ранее материалом, активно осмысливать и запоминать новую информацию – важнейшая черта будущего специалиста.
Основные знания и умения. Знать: определения аргумента комплексного числа; тригонометрической формы комплексного числа. Уметь: переходить от алгебраической формы комплексного числа к тригонометрической и обратно.
Методические рекомендации.
Вид занятия. Усвоение новых знаний.
Мотивация познавательной деятельности учащихся. Нужно обратить внимание учащихся, что помимо алгебраической формы комплексного числа существуют ещё и другие его формы, где одной из характеристик комплексного числа является его модуль, который уже знаком учащимся, но пока не использовался в алгебраической форме. На данных занятиях будет рассмотрена тригонометрическая форма комплексного числа, которая во многих случаях оказывается более удобной, чем алгебраическая.
Последовательность изложения нового материала.
1. Тригонометрическая форма комплексного числа.
2. Переход от алгебраической формы комплексного числа к тригонометрической и обратно.
План занятий.
Проверка домашнего задания.
Повторение опорных знаний учащихся. Повторить с учащимися алгебраическую форму комплексного числа; геометрическую интерпретацию комплексного числа; модуль комплексного числа и основные соотношения, связанные с ним.
Изучение нового материала. Полезно составить с учащимися алгоритм перехода из одной формы в другую.