III этап.
Контрольная работа.
После того, как было сформулировано у учащихся понятие комплексного числа, была проведена контрольная работа для того, чтобы оценить насколько успешно прошло усвоение нового понятия.
В первое задание вошло 3 упражнения: а) (3-2i)(4+i)+10i;
б) 1-i + 1+i ; в) (2-i)³
1+i 1-i
В результате проверки мы сможем увидеть научились ли учащиеся выполнять арифметические действия: сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень комплексных чисел.
Второе задание: х+у+(х-у)i=8+2i позволяет нам зафиксировать усвоено ли учащимися такое понятие как равенство комплексных чисел.
С помощью третьего задания: а) х2–4х+5=0; б) х4–1=0 мы сможем узнать научились ли ребята решать квадратные уравнения вне зависимости от дискриминанта, а так же путем разложения на множители.
Проверяя четвертое задание: а) z=5-2i; б) –1<Rez≤2 мы увидим умеет ли изображать комплексные числа учащиеся на комплексной плоскости, знают ли составные части комплексных чисел, умеют ли их изображать.
И пятое задание, в котором нужно записать числа z1=i и z2=2+√3i в тригонометрической форме, а затем найти (z2)³ , z3=z1·z2 позволит нам узнать насколько усвоен ребятами переход от алгебраической формы к тригонометрической, и научились ли они выполнять действия над комплексными числами в тригонометрической форме.
Т.о. контрольная работа позволит нам увидеть насколько эффективно проходило формирование и усвоение понятия комплексного числа.
Формирующие: II этап.
Для успешного усвоения понятия комплексного числа была разработана система поэтапной подачи материала. Вся тема была разбита на пять блоков. А именно: 1 блок содержит в себе историческую справку, определение комплексных чисел в алгебраической форме, действия над ними, геометрическую интерпретацию комплексных чисел. Цель занятий этого блока – усвоение новых знаний.
2 блок: Действия над комплексными числами, заданными в алгебраической форме. Цель – повторение и закрепление полученных знаний, формирование умений и навыков.
3 блок: Тригонометрическая форма комплексных чисел. Переход от алгебраической формы комплексных чисел к тригонометрической и обратно. Цель занятий – усвоение и закрепление новых знаний.
4 блок: Действия над комплексными числами в тригонометрической форме. Формула Муавра. Извлечение корней из комплексных чисел. Цель - усвоение и закрепление новых знаний.
5 блок: Решение упражнений. Комплексные корни многочленов. Цель занятий блока – повторение и закрепление полученных знаний, формирование умений и навыков.
С помощью методов стимулирования и мотивации интереса к учению заинтересовать учащихся тем, что они познакомятся с решением квадратных уравнений вне зависимости от дискриминанта, т.е. и в случае, когда D<0.
Изучение нового материала началось с беседы: повторение опорных знаний – известных им сведений о числовых множествах. Типовые вопросы беседы:
1. Определение натуральных чисел и их обозначение.
2. Определение целых чисел и их обозначение.
3. Определение рациональных чисел и их обозначение.
4. Определение действительных чисел и их обозначение.
5. Какая арифметическая операция не всегда выполнима во множестве натуральных чисел?
6. Т.о. какое множество необходимо было ввести?
7. Почему ввели множество рациональных чисел?
8. Действительных? Т.е. не могли производить всех необходимых измерений во множестве рациональных чисел.
9. Какая операция не всегда выполнима во множестве R?
10. Предлагается решить уравнение х2+1=0 (и, если не ответили на вопрос №9, задать его ещё раз).
Итак, мы приходим к неизбежности введения комплексных чисел.
После того, как учащиеся были заинтересованы, на первом занятии подготовить их к изучению нового материала. Это можно сделать, изложив исторический обзор методом рассказа - вступления. Кроме того, это позволяет учащимся узнать богатую историю возникновения и развития, необходимости введения комплексных чисел. Также рассказ служит для них примером построения связной, логичной, убедительной речи, учит грамотно выражать свои мысли.
Далее изучение новой темы осуществлялось методом объяснения. Сообщаются конкретные факты, точно и четко формулируются определения, частные случаи, основные соглашения, принятые относительно комплексных чисел. Объяснение сочетается с наблюдением учащихся, с вопросами учителя к учащимся и учеников к учителю и может перерасти в беседу.
Предлагается учащимся самим найти правила действий над комплексными числами. Учитель направляет, помогает, подсказывает. Ученики под руководством учителя самостоятельно рассуждают, решают возникающие познавательные задачи и т.д. Т.о. в этом случае мы работаем с помощью частично – поискового метода.
Геометрическая интерпретация комплексных чисел вводится методом объяснения с элементами беседы. Это позволяет актуализировать уже известные им знания и поддерживает интерес, заставляет мысль ученика следовать за мыслью учителя.
При обобщении, систематизации и закреплении знаний используется комбинированный метод. Репродуктивный метод обеспечивает возможность получения умений и применения полученных знаний. Этот метод тесно переплетается с практическим методом, здесь наибольшей эффективностью отличаются упражнения. Используются все виды упражнений – устные, письменные, графические, комментированные и т.д.
На протяжении всей темы могут быть использованы ситуационный метод и обучающий контроль – устный и самоконтроль.
Следующий блок начинается с проверки домашнего задания, для которой характерен метод обучающего контроля. Комбинированный опрос состоит из фронтального опроса по вопросам, приведенным в приложении 2, а также из индивидуального опроса, который полезно провести по карточкам, и это определяет методы, соответственно – устный и письменный контроль.
Применение знаний при решении типовых примеров и задач осуществляется репродуктивным и практическим методом с использованием различных видов уравнений.
Творческое применение знаний, умений и навыков, может быть осуществлено частично – поисковым или исследовательским методом с помощью упражнений.
Самостоятельное применение ЗУН и индивидуальная проверка знаний определяет в этом случае метод – письменный контроль, фронтальная работа на часть урока.
Третий блок начинается с проверки домашнего задания и с повторения опорных знаний учащихся – это осуществляется с помощью методов устного индивидуального и фронтального контроля, по вопросам, которые даны в приложении 2. Одни учащиеся отвечают по некоторым вопросам у доски, и пока они готовятся, учитель работает с классом.
Изложение нового материала ведется методом объяснения. Даются определения, основные формулы. Составляется с учащимися алгоритм и таблица (приложение 2), здесь присутствуют элементы беседы. Учитель задает вопросы, направляет, а учащиеся размышляют, делают выводы, поэтому также имеет место частично – поисковый метод.
Репродуктивный метод и упражнения используются при решении типовых примеров. Ребята воспроизводят и повторяют способ деятельности учителя, когда он методом иллюстрации и демонстрации приводил примеры. Ученики приобретают умения и навыки.
Проверить насколько эффективно проходило в классе приобретение учащимися теоретических знаний и практических умений по этой теме можно методом письменного контроля, фронтального.
Четвертый блок состоит из занятий, цель которых – усвоение и закрепление новых знаний. Здесь используется объяснительно – иллюстративный метод. Сообщаем новый материал, методом объяснения, сопровождая показом способов решения задач. Проверка домашнего задания и повторение опорных знаний проводим методом обучающего контроля, т.е. фронтального опроса по вопросам, которые требуют лаконичного ответа.
С помощью упражнений учащиеся воспроизводят действие по образцу в целях их закрепления и далее выполняют более сложные творческие задания.
Самостоятельную работу провести методом письменного контроля с выборочной проверкой.
Последние занятия перед контрольной работой направлены на закрепление, систематизацию и обобщение знаний. Т.о. комбинируются различные методы. Для проверки домашнего задания – индивидуальный и фронтальный письменный контроль, с элементами устного: у доски отвечают несколько человек по карточкам – заданиям, а остальные решают упражнения, аналогичные домашним.
Повторить с учащимися основные положения темы можно методом беседы, некоторые моменты которой могут переходить в дискуссию.
Комментированные, устные и письменные упражнения способствуют формированию различных навыков, развитию мышления, познавательного интереса, активности и т.д. Учащиеся выполняют задания у доски и на местах, индивидуально и коллективно, при этом имеет место обучающий контроль учителя и самоконтроль.
На последнем занятии – контрольная работа, это есть письменный фронтальный контроль. Работа может быть проведена по карточкам, также в виде дифференцированного зачёта и т.д.
Описание контингента испытуемых.
Эксперимент проводился в ЯСШ № 3, в 10ª классе. В этом классе 27 человек (16 мальчиков и 11 девочек). Класс непрофильный, успеваемость средняя: 2 отличника, 7 хорошистов, 4 неуспевающих. Математикой интересуются в различной степени 9–10 учащихся. В классе у 11% неполные семьи, у 15% - достаток в семье выше среднего, 1 девочка посещает уроки в школе редко по состоянию здоровья. В целом класс дружный, в основном ребята серьёзные, организованные.