3.2. Описание результатов исследования
Эксперимент проводился в 10а классе ЯСШ №3. В группу испытуемых вошли 14 человек: только те, кто изъявил желание. Учитывая загруженность расписания уроков, и то, что в исследовании участвовали не все учащиеся, занятия проходили во внеурочное время. Проводилось 10 занятий, а не 14, т.к. мы были ограничены рамками педагогической практики.
3.2.1. Диагностическая часть
После беседы с учителем математики выяснилась следующая информация: круг интересов ребят довольно ограничен, в основном это телевизор, дискотека, за редким исключением – литература, и в большинстве случаев – это гадания, гороскопы.
В классе 2 отличницы – это девочки, которым все интересно, они любознательные, одинаково хорошо занимаются по всем предметам, в основном объясняется это желанием получить медаль и поступить без экзаменов в высшее учебное заведение. В классе есть также интересующийся математикой как наукой мальчик. Он хорошо разбирается в математике, быстро схватывает, но к сожалению не имеет возможности развивать свои способности вне школы, дома.
У данного класса достаточно высокий уровень самостоятельности и активности. Но для того, чтобы были высокие результаты на уроке, учитель должен их заинтересовать, организовать их деятельность. Высокий уровень этих качеств также проявляется во внеурочное время, например, при подготовке к проведению различных работ, мероприятий во время математической недели, и т.д.
В простейших математических ситуациях учащиеся умеют применять приемы и операции мышления, но в сложных ситуациях нужно натолкнуть, подсказать. В основном зависит от учителя, если нет проблемной ситуации, то и учащиеся не работают.
Абстрактное мышление находится не на должном уровне, больше учащиеся мыслят конкретно, конечно это зависит от способа преподавания. Логическое мышление развито средне – успешно решают необходимый минимум задач такого типа, и 50% ребят без труда справляются с творческими заданиями.
Учащиеся усваивают понятия вполне полно, чаще усваивается необходимое количество признаков понятия, но 7% учащихся редко вообще что-либо усваивают, т.к. нет базы знаний и желания. Учитель часто указывает на связи и отношения различных понятий друг с другом, поэтому ученики легко ими пользуются. Также ребята в большинстве случаев умеют оперировать усвоенными понятиями при решении задач, бывают затруднения, поэтому немалую роль играет здесь наглядность, творческое мышление.
В группу испытуемых вошли 14 человек, объяснить это можно любопытством учащихся, даже любознательностью. Конечно, пришли дети, которые любят математику как предмет, наверняка, сыграла свою роль предварительная заинтересованность о решении квадратных уравнений с D<0. Многие из ребят хотят продолжить образование, где необходимо знание математики. Может быть, пришли некоторые, потому, что есть возможность проявить себя, попробовать свои силы в небольшой группе, поэтому пришли 4 слабых ученика. Возможно ребятами двигал и интерес к молодому педагогу.
Анализируя результаты усвоения темы “Тригонометрические функции” мы сделали вывод, что большинство учащихся это понятие усвоило. По результатам самостоятельной работы по этой теме качество знаний 65% – допустимое; уровень обученности – 92% – высокий. Т.к. эта тема ребятами усвоена довольно успешно, то при изучении темы “Комплексные числа” думаем особых затруднений не возникнет, т.к. учащиеся обладают необходимыми ЗУМ для усвоения этой темы.
Анализ контрольной работы.
Умение решать математические задачи является наиболее яркой характеристикой состояния математического мышления учащихся и его уровня.
Для того, чтобы увидеть насколько эффективно проходила усвоение понятия комплексного числа, учащимся была предложена на последнем занятии письменная проверочная работа (см. приложение 2).
В результате проверки контрольной работы по данной теме уровень обученности составил 100%, т.е. все учащиеся, посещавшие занятия, справились с контрольной работой. Причем качество знаний по этой теме – 79%, а это достаточно высокий показатель.
1 задание: Научились выполнять арифметические операции над комплексными числа, заданными в алгебраической форме (сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень) 86% учащихся. Так, у 7% ребят была в этом задании ошибка по содержанию, т.е. из-за недостаточного знания предыдущих тем (формул сокращенного умножения). У 7% учащихся в этом задании была ошибка, допущенная в ходе решения из-за невнимательности. Умножая (‑i) на 1 ученик получил i, вместо (‑i). Причина – неточное знание правила умножения чисел с разными знаками, что повлекло за собой неверный ответ.
2 задание: знают понятие равенства комплексных чисел 86%. 7% – неумело пользуются понятием, т.к. не добились его глубокого понимания. Перенеся из правой части равенства комплексное число в левое, приведя подобные, ученик только потом использовал понятия равенства комплексных чисел, т.е. действительную и мнимую часть приравнял к нулю. Хотя это можно было сделать на первом шаге решения, что сократило бы рассуждения. И 7% учащихся в этом задании решая систему из двух линейных уравнений использовали метод подстановки, хотя считаем, что рациональнее было бы применить метод сложения уравнений системы.
3 задание: разлагать на множители многочлены и решать квадратные уравнения вне зависимости от дискриминанта научились 79% учащихся. 7% ребят испытывают затруднения при выявлении существенных признаков данного понятия и связи между ними. Для того чтобы найти корни уравнения x4‑1=0 ученик использовал тригонометрическую форму комплексного числа, на что ушло много времени из-за нерациональности и громоздкости данного решения. Не видит более простого и красивого решения. Формально отнеслись к решению 14% учащихся – нерационально (сложнее) решили предложенные уравнения. Т.е. нужно было применить сокращенную формулу нахождения дискриминанта. Эти учащиеся воспользовались общей формулой, что повлекло за собой лишние преобразования.
4 задание: 16% учащихся изобразили комплексные числа и их составные части на плоскости без ошибок. 7% учащихся допустили ошибки при решении из-за невнимательности. Не достаточно четко оформили свое решение, т.е., построив комплексное число на плоскости, не обозначили эту точку, не отметили ее координаты. Остальные 7% из-за поверстного понимания этого понятия допустили грубую ошибку при оформлении решения. Из-за незнания, где находится мнимая ось, а где – действительная, при изображении решения ученик поменял их местами, из-за чего начертил, множество точек решения относительно другой оси, что является очень грубой ошибкой и говорит о поверхностном понимании данного понятия.
5 задание: переводить комплексные числа из алгебраической формы в тригонометрическую, а также выполнять действия над комплексными числами в тригонометрической форме (умножение, возведение в степень) научились 65%. 14% учащихся не справились с этим заданием из-за поверхностного знания некоторых фактов тригонометрии – определения величины угла по его значению синуса и косинуса. 7% ребят не вникли в суть поставленной задачи, т.е. решили не тем способом, каким требовало задание. Сначала возвели комплексное число в алгебраической форме в заданную степень; перемножили два комплексных числа в алгебраической форме, лишь затем перевели результаты в тригонометрическую форму, хотя в задании требовалось это сделать в обратном порядке. Остальные 14% ребят допустили ошибки при решении из-за невнимательности, не довели решение до конца, не преобразовав –43, а также из-за не достаточного знания основных формул и понятий, т.е. записывая тригонометрическую форму комплексного числа забыли про модуль комплексного числа, что повлекло за собой целый ряд ошибок при умножении комплексных чисел и возведении комплексного числа в третью степень.
Анализируя допущенные ошибки были выделены 3 типа ошибок:
1. логические (не выделяют существенных признаков понятий, связей между ними).
2. по содержанию (неумело пользуются основными понятиями, формулами, соглашениями).
3. процессуальные (формальное отношение к решению, нерациональность, невнимательность).
Средний процент по каждому типу ошибок: 1 – 21%; 2 – 42%; 3 – 49%.
Ребята допускают в работе логические ошибки, что говорит о недостаточном развитии гибкости, глубины мышления. Большой процент процессуальных ошибок свидетельствует о невнимательности учащихся при решении задач, о поверхностности мышления, т.е. о формальном отношении к процессу решения.
В целом учитывая ошибки по содержанию и качество знаний по данной теме можно сделать вывод, что контрольная работа выполнена успешно, и это говорит об удачном завершении формирования понятия комплексного числа.
2.2. Формирующая часть
Итак, было проведено 10 занятий. На первых двух занятиях, после объявления цели введения комплексных чисел, ребятам рассказывалась историческая справка о развитии теории комплексного числа. Учащиеся слушали очень внимательно, проявили глубокую заинтересованность. После того, как было дано определение, основные соглашения, относящиеся к комплексным числам, ученикам было предложено самим отыскать правила действий (сложения, вычитания) над комплексными числами. Школьники очень активно включились в работу, после недолгих рассуждений, пришли к верному решению данного им задания. И это говорит о гибкости их мышления. После демонстрации нескольких примеров, иллюстрирующих операции умножения и деления комплексных чисел в алгебраической форме, учащимся были предложены подобные задания.
Несколько учащихся, по желанию, решали эти задачи у доски, а с мест, по просьбе учителя, их решения комментировали другие учащиеся. Т.о. в учебно-познавательный процесс было вовлечено как можно больше учащихся. Работа наиболее активных ребят оценивалась, с более же пассивными учениками велась индивидуальная работа. Учитель подходил к учащимся, у которых возникали вопросы по ходу решения и помогал отыскать ошибки, разобраться в решении, т.д.