II f’(x)<0 при х<х0 и f’(x)>0 при х>х0 , т. е. производная f’(x) при переходе через точку х0 меняет знак минус на плюс. В этом случае аналогично убеждаемся, что в точке х0 функция имеет собственный минимум.
III f’(x)>0 как при х<х0 так и при х>х0 либо же f’(x) и слева и справа от х0 , т. е. при переходе через х0 , не меняет знака. Тогда функция либо всё время возрастает, либо всё время убывает; в любой юлизости от х0 с одной стороны найдутся точки х, в которых f(x)<f(x0), а с другой – точки х, в которых f(x)>f(x0) так что в точке х0 никакого экстремума нет.
Итак, мы получаем правило для испытания “подозрительного” значения х0 : подставляя в производную f’(x) сначала х<х0 , а затем х>х0, устанавливаем знак производной вблизи от точки х0 слева и справа от неё; если при этом производная f’(x) меняет знак плюс на минус , то налицо максимум, если меняет знак с минуса на плюс, то – минимум ; если же знака не меняет, то экстремума вовсе нет.
Это правило полностью решает вопрос в том случае, когда в промежутке (а,b), как это обычно бывает, всего лишь конечное число стационарных точек или точек, где отсутствует конечная производная:
a<х1<х2<… <хk<хk+1<… <хn<b (3.1)
именно ,тогда прежде всего, в любом промежутке (а,х1), (х1,х2), … ,(хk,хk+1), … ,(хn,b) существует конечная производная f’(x) и, кроме того, в каждом таком промежутке f’(x) сохраняет постоянный знак.Действинельно, если бы f’(x) меняла знак, например, в промежутке (хk,хk+1) , то по теореме Дарбу, она обращалась бы в нуль в некоторой точке между хk и хk+1, что невозможно, поскольку все корни производной уже содержатся в ряду точек (3.1).
Последнее замечание бывает полезно в некоторах случаях на практике: знак производной f’(x) во всем промежутке (хk,хk+1) определяется , если вычислить значение (или даже только установить знак) её в одной какой-либо точке этого промежутка.
3.2.2.Достаточное условие. Второй признак.
Нередко более удобным на практике оказывается другой признак существования экстремума, основанный на выяснении знака второй производной в стационарной точке.
Справедлива следующая теорема.
Теорема 3.1:Если х0 есть стационарная точка функции f(x) и f’’(x)<0, то в точке х0 функция иммет максимум,а если f’’(x)>0 , то функция имеет в точке х0 минимум.
Доказательство: По определению второй производной
(f’(x)-f’(x0)
f’’(x0)=lim-------------
x-x0
По условию теоремы f’(x)=0. Поэтому
f’(x)
f’’=lim----------
x-x0
Допустим , что f’’(x)<0. Тогда по теореме о пределах функции найдётся такой интервал (x0-,x0+), в котором переменная величина f’(x)/(x-x0) сохраняет знак своего предела, т. е. выполняется неравенство
f’(x)
----------<0 (x0- <x<x0+ )
x-x0
Отсюда следует,что f’(x)>0 , если х-х0<0, или х>х0, и f’(x)<0, если х-х0>0, или х>х0. На оснавании первого достаточного признака существования экстремума заключаем, что в точке х0 функция f(x) имеет максимум. Аналогично показывается, что условие f’’(x)>0 обеспечивает минимум функции f(x).
ч.т.д.
Таким образом получаем правило нахождения экстремумов (для дважды дифференцируемых функций):
1.Вычисляем первую производную f’(x) и из уравнения f’(x)=0 находим стационарные точки функции f(x).
2.Вычсляем вторую производную, и каждую стационарную точку х0 подвергаем испытанию:
- если f’’(x)>0, то х0 – точка минимума функции;
- если f’’(x)<0, то х0 – точка максимума функции.
Замечание 1 : если f’’(x)=0 ,то это правило теряет силу и нужно воспользоваться первым признаком нахождения экстремумов. При этом экстремум может существовать , а может и не существовать.
Однако в случае своей применимости второй признак окаывается весьма удобным : вместо рассмотрения знака функции f’(x) в точках, отличных от предполагаемой точки экстремума, он позволяет дать ответ по знаку функции f’’(x) в той же точке.
3.3.Использование высших производных.
В случае, когда f’’(x)=0 (f’(x)=0) экстремум может быть, а может и не быть. Рассмотрим общий случай.
Теорема 3.2:Пусть функция f:U(x0) R, определенная в окрестности U(x0) точки х0, имеем в х0 производные до порядка n включительно (n>1).
Если f’(x0)=…=f (n-1)(x0)=0 и f(n)(x0)=0 , то при n нечетном в х0 экстремума нет, а при n четном экстремум есть, причем это строгий локальный минимум, если f(n)(x0)>0 , и строгий локальный максимум, если f (n)(x0).
Доказательство:Используя локальную фурмулу Тейлора
f(x)-f(x0)=f(n)(x0)(x-x0)n+ (x)(x-x0)n (3.2)
где (x) 0 при x x0,будем рассуждать так же, как при доказательстве леммы Ферма. Перепишем (2) в виде
f(x)-f(x0)=(f(n)(x0)+ (x))(x-x0)n (3.3)
Поскольку f(n)(x0)=0,а (x) 0 при x x0, сумма имеет знак fn(x0),когда х достаточно близок к х0. Если n нечетно, то при переходе через х0 скобка (х-х0)n меняет знак и тогда изменяется знак всей правой , а следовательно, и левой части равенства (3.3). Значит, при n=2k+1 экстремума нет.
Если n четно, то (x-x0)n>0 при x=x0 и,следовательно, а малой окрестности точки х0 знак разности f(x)-f(x0), как видно из равенства (3.3), совпадает со знаком f(n)(x0) :
- пусть f(n)(x0),тогда в окрестности точки х0 f(x)>f(x0), т. е. в точке х0 – локальный минимум;
- пусть f(n)(x0)>0,тогда f(x)>f(x0) ,т. е. в точке х0 локальный минимум. ч.т.д.
4.Экстремумы функций трех переменных.
4.1.Необходимые условия экстремума.
Пусть функция v=f(x,y,z) определена в области D и (x0,y0,z0) будет внутренней точкой этой области.
Говорят, что функция v=f(x,y,z) в точке (x0,y0,z0) имеет максимум (минимум), если её можно окружить такой окрестностью
(x0- ,x0+ , y0- ,y0+ ,z0- ,z0+ )
что бы для всех точек этой окрестности выполнялось неравенство
f(x,y,z)<f(x0,y0,z0)
(>)
Если эту окрестность взять настлько малой, что бы знак равенства был исключён, т. е. чтобы в каждой её точке, кроме самой точки (x0,y0,z0) выполнялось строгое неравенство
f(x,y,z)<f(x0,y0,z0)
(>)
то говорят, что в точке (x0,y0,z0) имеет место собственный максимум (минимум), в противном случае максимум (минимум) называют несобственным.
Для обозначения максимума и минимума (как и в случае одной переменной) употребляется общий термин – экстремум.
Предположим, что наша функция в некоторой точке (x0,y0,z0) имеет экстремум,
Покажем, что если в этой точке существуют (конечные) частные производные
fx’(x0,y0,z0), fy’(x0,y0,z0) ,fz’(x0,y0,z0)
то все эти частные производные равны нулю, так что обращение в нуль частных производныхпервого порядка является необходимым условием существования экстремума.
С этой целью положим y= y0,z= z0 сохраняя х переменным ; тогда у нас получится функция от одной переменной х :
v=f(x, y0,z0)
Так как мы предположили, что в точке (x0,y0,z0) существует экстремум (для определенности - пуcть это будет максимум), то, в частности, отсюда следует, что в некоторой окрестности (x0- ,x0+ ) точки x=x0, необходимо должно выполняться неравенство
f(x, y0,z0)<f(x0,y0,z0)
так что упомянутая выше функция одной переменной в точке будет иметь максимум, а отсюда по теореме Ферма следует, что
fx’(x0,y0,z0)=0
Таким образом можно показать, что в точке и остальные частные производные равны нулю.
Итак, “подозрительными” на экстремум являются те точки, в которых частные производные первого порядка все обращаются в нуль: их координаты можно найти, решив систему уравнений
fx’(x,y,z)=0
fy’(x,y,z)=0(4.2)
fz’(x,y,z)=0
Как и в случае функции одной переменной, подобные точки называются стационарными.
4.2.Достаточное условие экстремума.
Как и в случае функции одной переменной, в стационарной точке вовсе не обеспечено наличие экстремума.Таким образом, встает вопрос об достаточных для существования (или отсутствия) экстремума в стационарной точке, то есть о том исследоовании, которому эта точка должна быть дополнительно подвергнута.
Предположим, что функция v=f(x,y,z) определена, непрерывна и имеет непрерывные частные производные первого и второго порядков в окрестности некоторой точки (x0,y0,z0), которая является стационарной, т.е. удовлетворяет условиям
fx’(x0,y0,z0)=0,fy’(x0,y0,z0)=0,fz’(x0,y0,z0)=0
Чтобы установить, действительно ли наша функция имеет в точке (x0,y0,z0) экстремум или нет, естественно обратимся к рассмотрению разности
= f(x,y,z)- f(x0,y0,z0)
Разложим ее по формуле Тейлора,
= { fx ’’ x12+fx ’’ x22+…+fx ’’ xn2+2fx1x2 ’’ x1 x2+ +2fx1x3 ’’ x1 x3+…+2fxn-1xn ’’ xn-1 xn}= fxixj ’’ xi xj