где x= xi-xi0 ; производные все вычеслены в некоторой точке
(x10+0 x1, x20+0 x2,…, xn0+0 xn) (0<0<1)
Введём и здесь значения
fxixj ’’ (x10,x20,…,xn0)=aik (i,k=1,2,…,n) (4.2)
так что
fxixj ’’ (x10+0 x1, x20+0 x2,…, xn0+0 xn)= aik+ ik
и
ik 0 при x1 0,…, xn 0 (4.3)
Теперь интеесующее нас выражение можно написать в виде:
= { aik xi xk+ ik xi xk} (4.4)
На первом месте в скобках здесь стоит второй дифференциал функции f в рассматриваемой точке : он представляет собой однородный одночлен второй степени или, как говорят, квадратичную форму от переменных x1,…,xn. От свойств этой квадратичной формы, как мы увидим, и зависит решение интересующего нас вопроса.
В высшей алгебре квадратичную форму
aik yi yk (aik = aki) (4.5)
от переменных y1,…,yn называют определенной положительно (отрицательно), если она имеет положительные (отрицательные) значения при всех значениях аргументов, не равных одновременно нулю.
Необходимое и достаточное условие для того, чтобы форма (4.5) была определенной и положительной принадлежит Сильвестеру (J.J.Sylvester). Оно выражается цепью неравенств:
a11 a12 a11 a12 a13
a11>0, a21 a22 , a21 a22 a23 >0,
a31 a32 a33
Так как определенная отрицательная форма с изменением знака всех её членов переходит в определенню положительную, и обратно, то отсюда легко найти и характеристику отицательной формы : она дается цепью неравенств, которая получается из написанной выше изменением смысла неравенств через одно (начиная с первого).
a11 a12a11 a12 a13
a11>0, a21 a22 a21 a22 a23 >0
a31 a32 a33
Следовательно, чтобы исследовать точку М(x0,y0,z0) на экстремум , надо исследовать квадратичную форму ( 4.5).
Сформулируем полученный результат в виде теоремы.
Теорема : Пусть в некоторой области, содержащей точку М(x0,y0,z0), функция f(x,y,z) имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно; пусть кроме того, точка М(x0,y0,z0) является критической точкой функции f(x,y,z), т.е.
f(x0,y0,z0)f(x0,y0,z0)f(x0,y0,z0)
--------------- =0, ---------------=0, ---------------=0
x y z
Тогда при x=x0,y=y0,z=z0 :
1) f(x,y,z) имеет максимум , если
2f(x0,y0,z0) 2f(x0,y0,z0) 2f(x0,y0,z0) 2f(x0,y0,z0) 2
---------------<0 , -------------------------------- - --------------- >0
x2 x2 y2 xy
2f(x0,y0,z0) 2f(x0,y0,z0) 2f(x0,y0,z0) 2f(x0,y0,z0) 2
--------------- -------------------------------- - --------------- --
x2 x2 z2 y z
2f(x0,y0,z0) 2f(x0,y0,z0) 2f(x0,y0,z0)
-- --------------- -------------------------------- --
x y x y z2
2f(x0,y0,z0) 2f(x0,y0,z0)
-- --------------------------------- +
x z y z
2f(x0,y0,z0) 2f(x0,y0,z0) 2f(x0,y0,z0)
+ --------------- -------------------------------- --
x z xy y z
2f(x0,y0,z0) 2f(x0,y0,z0)
-- ------------------------------- >0
x z y2
2) f(x,y,z) имеет минимум, если
2f(x0,y0,z0) 2f(x0,y0,z0) 2f(x0,y0,z0) 2f(x0,y0,z0) 2
--------------->0 , -------------------------------- - --------------- >0
x2 x2 y2 xy
2f(x0,y0,z0) 2f(x0,y0,z0) 2f(x0,y0,z0) 2f(x0,y0,z0) 2
--------------- -------------------------------- - --------------- --
x2 x2 z2 y z
2f(x0,y0,z0) 2f(x0,y0,z0) 2f(x0,y0,z0)
-- --------------- -------------------------------- --
x y x y z2
2f(x0,y0,z0) 2f(x0,y0,z0)
-- --------------------------------- +
x z y z
2f(x0,y0,z0) 2f(x0,y0,z0) 2f(x0,y0,z0)
+ --------------- -------------------------------- --
x z xy y z
2f(x0,y0,z0) 2f(x0,y0,z0)
-- ------------------------------- >0
x z y2
3)если
2f(x0,y0,z0) 2f(x0,y0,z0) 2f(x0,y0,z0) 2f(x0,y0,z0) 2
--------------- -------------------------------- - --------------- --
x2 x2 z2 y z
2f(x0,y0,z0) 2f(x0,y0,z0) 2f(x0,y0,z0)
-- --------------- -------------------------------- --
x y x y z2
2f(x0,y0,z0) 2f(x0,y0,z0)
-- --------------------------------- +
x z y z
2f(x0,y0,z0) 2f(x0,y0,z0) 2f(x0,y0,z0)
+ --------------- -------------------------------- --
x z xy y z
2f(x0,y0,z0) 2f(x0,y0,z0)
-- ------------------------------- =0
x z y2
то экстремум может быть , а может и не быть (в этом случае требуется дальнейшее исследование )
4) во всех остальных случаях f(x,y,z) не имеет ни максимума , ни минимума.
5.Экстремумы функций многих переменных.
5.1.Необходимые условия экстремума.
Пусть функция u=f(x1,x2,…,xn) определена в области D и (x10,x20,…,xn0) будет внутренней точкой этой области.
Говорят, что функция u=f(x1,x2,…,xn) в точке (x10,x20,…,xn0) имеет максимум (минимум), если её можно окружить такой окрестностью
(x10 x10 x20 x20 xn0 xn0 )
что бы для всех точек этой окрестности выполнялось неравенство
f(x1,x2,…,xn)<f(x10,x20,…,xn0)
(>)
Если эту окрестность взять настлько малой, что бы знак равенства был исключён, т. е. чтобы в каждой её точке, кроме самой точки (x10,x20,…,xn0) выполнялось строгое неравенство
f(x1,x2,…,xn)<f(x10,x20,…,xn0)
(>)
то говорят, что в точке (x10,x20,…,xn0) имеет место собственный максимум (минимум), в противном случае максимум (минимум) называют несобственным.
Для обозначения максимума и минимума (как и в случае одной переменной) употребляется общий термин – экстремум.
Предположим, что наша функция в некоторой точке (x10,x20,…,xn0) имеет экстремум,
Покажем, что если в этой точке существуют (конечные) частные производные
fx1’(x10,x20,…,xn0) ,…, f ’xn(x10,x20,…,xn0)
то все эти частные производные равны нулю, так что обращение в нуль частных производныхпервого порядка является необходимым условием существования экстремума.
С этой целью положим x2=x20,…,xn= xn0 сохраняя x1 переменным ; тогда у нас получится функция от одной переменной x1 :
u=f(x1, x20,…,xn0)
Так как мы предположили, что в точке (x10,x20,…,xn0) существует экстремум (для определенности - пуcть это будет максимум), то, в частности, отсюда следует, что в некоторой окрестности(x10- , x10+ ) точки x1= x10, необходимо должно выполняться неравенство
f(x1, x20,…,xn0)< f(x10,x20,…,xn0)
так что упомянутая выше функция одной переменной в точке x1= =x10 будет иметь максимум, а отсюда по теореме Ферма следует, что
fx1’(x10,x20,…,xn0)=0
Таким образом можно показать, что в точке (x10,x20,…,xn0) и остальные частные производные равны нулю.
Итак, “подозрительными” на экстремум являются те точки, в которых частные производные первого порядка все обращаются в нуль: их координаты можно найти, решив систему уравнений
fx1’(x10,x20,…,xn0)=0
……………………. (5.1)
f ’xn(x10,x20,…,xn0)=0
Как и в случае функции одной переменной, подобные точки называются стационарными.
Замечения :Необходимое условие существования экстремума в случае дифференцируемой функции кратко можно записать так :
d f(x1,x2,…,xn)=0
так как, если fx1’= fx2’=…= f ’xn , то каковы бы ни были dx1,dx2,…,dxn всегда
f(x1,x2 d,…,xn)= fx1’ dx1+ fx2’ dx2+…+ f ’xn dxn=0
И обратно : если в данной точке тождественно выполняется это условие, то ввиду произвольности dx1,dx2,…,dxn производные fx1’, fx2’,…, f ’xn порознь равны нулю.
Обычно, рассматриваемая функция f(x1,x2,…,xn) имеет (конечные) частные производные во всей области, и тогда точки, доставляющие функции экстреммы, следует искать лишь среди стационарных точек. Однако встречаются случаи, когда в отдельных точках некоторые частные производные имеют бесконечные значения или вовсе не существуют (в то время как остальные равны нулю). Подобные точки, собственно, тоже следует причислить к “подозрительным” по экстремуму, наряду со стационарными.