Замечание 2 : напомним метод, которым можно получить все решения однородной системы линейных уравнений.Пусть система (6.16) состоит из линейно независимых уравнений.Тогда ранг матрицы его коэффициентов равен m.Это означает , что существует минор этой матрицы порядка m, не равный нулю.Пусть для определенности
a11… a1m
am1… amm (6.24)
В этом случае все решения системы (6.16) можно получить , задавая произвольно последние n-m координаты вектора (x1,x2,…,xn). Остальные координаты однозначно находятся из системы уравнений (6.16).В самом деле, возьмем произвольное решение (x1(0),x2(0),…,xn(0)) системы (6.16).После подстановки xm+1= x(0) m+1,…, xn= xn(0) в (6.16) получится система из m линейных уравнений (с m неизвестными x1,x2,…,xn), матрицы коэффициентов которой в силу условия (6.24) невырожденная.Поэтому существуют единственные значения x1,x2,…,xn, удовлетворяющие получившейся системе.Поскольку (x(0)1,x(0)2,…,x(0)n). также было решением системы (6.16), то x1=x(0)1, x2=x(0)2,…, xm=x(0)m .
Перейдем теперь к анализу стационарных точек функции Лагранжа.
Теорема 6.2: Пусть функции f0, f1, f2,…, fm непрерывно дифференцируема в области G Rn, x(0) G
fi(x)=0, i=1,2,3,…,n
а ранг матрицы Якоби функций f1, f2,…, fm в точке x(0) равен m.Для того чтобы в точке x(0)=(x(0)1,x(0)2,…,x(0)n) градиент f0 являлся линейной комбинацией градиентов f1, f2,…, fm необходимо и достаточно, чтобы точка x(0)=(x(0)1,x(0)2,…,x(0)n) была стационарной точкой для функции.
g(x)=g(xm+1,…,xn)
Напомним,что если в точке x(0) градиент f0 является линейной комбинацией
f0= 1f1+ 2f2+…+ mfm (6.25)
градиентов f1, f2,…, fm, то это равносильно тому, что существует функция Лагранжа
F= f0- 1f1- 2f2-…- mfm (6.26)
для которой точка x(0) является стационарной :
F(x(0))
xi i=1,2,…,n (6.27)
Это просто координатная запись (6.25) ,ибо в силу (6.26)
F(x(0)) f0 f1 f2 fm
xi xi xi xi xi i=1,2,…,m
Доказательство: По условию ранг матрицы Якоби системы функций f1, f2,…, fm в точке x(0) равен m .Будем считать для определенности , как и в пункте 6.2 ,что
(f1, f2,…, fm)
(x1,x2,…,xm) x(0) (6.28)
Подставим в уравнение связи (6.3) функции (6.5) , являющиеся решением этих уравнений , и продеффиренцируем получившееся относительно переменных xm+1,…,xn тождества.Получим для точкиx(0) равенства dfi(x(0))=0, i=1,2,…,m, справедливые для любых приращений dxm+1,…,dxn независимых переменных xm+1,…,xn (напомним, что дифференциал являетсся линейной функцией , определенной на всем пространстве)Использовав инвариантность формы первого дифференциала относительно выбора переменных , получим , что в точке выполняется равенство
fi fi fi fi i=1,2,…,m
x1 xm xm+1 xn (6.29)
где xm+1,…,xn произвольные , а x1,…,xm находятся изформул (6.5). Таким образом вектор dx=( dx1,…,dxm,dxm+1,…,dxn) является решением линейной однородной системы (6.29).
Отметим , что в силу условия (6.28) значения dx1,…,dxm при заданных dxm+1,…,dxn однозначно находятся и из системы (6.29). Из замечания 2 следует также , что указанным способом получаются все решения системы (6.29).
Стационарность точки x(0) для функции g(x)=g(xm+1,…,xn)
означает , что dg(x(0)).Это равенство , в силу инвариантности формы первого дифференциала, можно более подробно записать в виде
f0 f0 f0 f0
x1 xm xm+1 xn (6.31)
где dxm+1,…,dxn можно задавать произвольно, а dx1,…,dxm следует находить из формул (6.5) или , что дает тотже результат из формул (6.29). Инач говоря , любое решение системы уравнений (6.29) является и решением уравнения (6.31). Согласно следствию из леммы это возможно тогда и тoлько тогда , когда уравнение (6.31) является линейной комбинацией уравнений системы (6.29) , т.е. когда существуют такие числа , что
f0= 1f1+ 2f2+…+ mfm
ч.т.д.
Замечание 3 : Согласно замечанию 2 совокупность всех решений систеиы уравнений (6.29) образуют подпространство Т пространства Rn, являющееся ортогональным дополнением к подпространству L=Z( f1, f2,…, fm) . Любой вектор y T ортогонален каждому градиенту fi , а поэтому его естественно назвать касательным вектором в точке x(0) к гиперповерхности fi(x)=0 , являющиеся множеством уровня функций fi,i=1,2,…,m.
Таким образом , пространство решений Т системы (6.29) состоит из векторов , касательных одновременно ко всем гиперповерхностям fi(x)=0 ,i=1,2,…,m, и потому его называют касательным пространством персечений всех гиперповерхностей fi(x)=0 ,i=1,2,…,m . Напомним , что векторы касательноо пространства Т ,т.е. решения системы (6.29), были обознаены через dx (см.(6.30)).
Поскольку в точке условного экстремума согласно теореме 2 имеет место включение
f0 L=Z( f1, f2,…, fm)
то
f0 T
Иначе говоря, градиент f0 одновременно ортогонален всем касательным dx к гиперповерхностям fi(x)=0 ,i=1,2,…,m:
( f0,dx)=0
(это другая запись уравнения (6.31)), т.е. градиент f0 перпендикулярен касательному пространству Т в точке x(0) .Но множество всех векторов , ортогональных к f0, образуют (n-1)– мерное пространство Т0 , называемое касательным пространством к гиперповерхности f0(x)= f0(x(0)) .В силу сказанного выше , каждый вектор из Т , будучи ортогонален градиенту f0, принадлежит к Т0 , т.е. Т Т0.
Итак , если x(0) – точка условного экстремума , то . Т Т0 , т.е. касательное пространство в точке x(0) пересечения всех гиперповерхностей , задаваемых уравнениями связи , содержится в касательном пространстве в той же точке гиперповерхности.
Замечание 4 : Из теоремы 2 еще раз вытекает следствие теоремы 1.В самом деле , если x(0) является точкой условногo экстремума , то является x(0) точкой обычного экстремума для функции () и , следовательно , ее стационаоной точкой . Поэтому согласно теореме 2 точка x(0) является стационарной точкой для функции Лагранжа , т.е.выполняется условие .
6.5.Достаточные условия для точек условного экстремума.
В этом пункте также будем предполагать выполненными все предположения , наложенные на функции в пункте 6.2.Пусть
F= f0+ ifi
-функции Лагранжа (см.(6.11)) для функции f0 и уравнений связи(6.3).Пусть x(0) G удовлетворяет уравнениям связи (6.3) и является стационарной точкой функции Лагаранжа , т.е. точкой , координаты которой удовлетворяют системе уравнений (6.10) и (6.3). Нашей целью является получение метода , с помощью которого можно установить условия , достаточные для того , чтобы x(0) являлась точкой условного экстремума рассматриваемой задачи.
Заметим прежде всего , что если точка x G удовлетворяет уравнениям связи (6.3) , то
f= f(x)-f(x(0))=F(x)-F(x(0))= F (6.32)
Отсюда сразу видно , что если x(0) является точкой обычного экстремума для функции F, т.е. F не меняет знака в некоторой окрестности точки x(0), то x(0) является точкой условного экстремума для функции f0 .
Действительно , из (6.32) следует в этом случае , что приращение f0 для допустимых значений х , т.е. удовлетворяющих уравнениям связи , также не меняет знак, Это достаточное условие , однако , накладывает слишком сильное ограничение на поведение функции Лагранжа F(x) в рассматриваемой точке – она должна иметь обычный экстремум , что сильно сужает область возможного применения указанного условия при решении задач.Поэтому целесообразно получить более общий достаточный признак условного экстремума .
Пусть x(0)= (x(0)1,x(0)2,…,x(0)n) удовлетворяет уравнениям связи (6.3).Вернемся к рассмотрению функции (6.6) , т.е. функции g(x)=g(xm+1,…,xn) , получаемой из f0(x)= f0(x1,x2,…,xn) при условии , что являются x1,x2,…,xm функциями переменных xm+1,…,xn определяемых уравнениями связи (6.3) в некоторой окрестности точки x(0).Будем дополнительно предполагать , что f0(x ) и fi(x ) ,i=1,2,…,m дважды непрерывно дифференцируема в точке x(0).
Выше отмечалось (в пункте 6.2) , что x(0) является точкой условного (строгого) экстремума для функции f0(x) относительно уравнений связи (6.3) тогда и только тогда , когда x(0) является точкой обычного (строгого) экстремума для функции g(x).Поэтому , если например , в точке x(0) функция g(x) удовлетворяет достаточным условиям существования строгого экстремума,то в этой точке функция f0(x) имеет условный строгий экстремум относительно уравнений связи (6.3).Достаточные условия для обычного сторого экстремума были получены нами ранее .Для нашего случая они имееют вид :
1) g(x(0) )
xi i=m+1,…,n; (6.33)
2)второй дифферециал
2g(x(0) )
d2g(x(0) )= -----------dxidxj (6.34)
xi xj
является положительно или отрицательно определенной квадратичной формой.