При выполнении этих условий x(0) является точкой строгого минимума или максимума для функции g(x).В силу сказанного выше указанные условия являются и достаточными условиями для того, чтобы x(0) являлось точкой условного строго минимума (максимума) для функции f0(x) относительно уравнений связи (6.3). Однако они неудобны для практического использования , так как требуют знания функции g(x).Поэтому , исходя из полученных достаточных условий условного строгого экстремума , выраженных посредством функции g(x) , получим достаточные условия того же экстремума , но выраженные только через функцию Лагранжа и уоавнений связи.
Прежде всего заметим , что в силу условия (6.4) система (6.29) разрешима, и притом однозначно, относительно dx1,…,dxm при произвольно фиксированных dxm+1,…,dxn .Систему (6.29), выражающую равенство нулю дифференциалов функции fi(x) в точке x(0):
d fi(x)=0, i=1,2,…,m
при выполнении условий (6.3) , будем записывать кратко в виде :
df=0 (6.35)
где
f=(f1,f2,…,fm)
Пусть x(0) является стационарной точкой для функции Лагранжа F(x).Это означает, что dF(x(0))=0, т.е. что в этой точке f0+ ifi=0.В теореме 2 показано, что в том случае x(0) является стационарной точкой для функции, т.е.
dg(x(0))=0 (6.36)
Поясним еще раз вывод этой формулы и покажем, что
d2g(x(0) )= d2F(x(0) ) df=0 (6.37)
Это равенство следует понимать как равенство функции n-m переменных dxm+1,…,dxn.В правой части равенства (6.37) остальные переменные dx1,…,dxm, которые входят в выражения написанных дифференциалов, определяются из системы уравнений (6.35) или, что равносильно (см. формулы (6.5))
dxk=d k(x1,x2,…,xn-m), k=1,2,…,m
Используя инвариантность формы первого дифференциала относительно выбора переменных и формулу (6.6), имеем
f0 (x(0) )
dg(x(0) )= -----------dxj
xj
Прибавим к этому равенству сумму (равную нулю) левых частей тождеств (6.29), умноженных соответственно на постоянные i, входящие в функцию Лагранжа F(x) (точнее, i-е равенство (6.29) умножается на постоянную i).Тогда, использовав условие (6.11), получим
F(x(0))
dg(x(0) )= -------[f0 (x )+ ifi (x)] dxj = --------- dxj=0
xj x=x0 xj
Утверждение (6.36) доказано.
Равенство (6.37) доказывается аналогичным приемом.Прежде всего напишем второй дифференциал для функции g(x) в точке x(0):
2f0(x(0) ) f0(x(0) )
d2g(x(0) )= ---------dxjdxk + ----------- d2xj (6.38)
xj xk xj
Далее продифференцировав тождества, получающиеся в результате дифференцирования уравнений связи (6.3), т.е. тождества будем иметь в точке x(0) :
2f0(x(0) ) f0(x(0) )
d2g(x(0) )= -----------dxjdxk + ----------- d2xj =0 (6.39)
xj xk xj
i=1,2,…,n
Умножив i–е равенство (6.39) на постоянную i, входящую в функцию Лагранжа F(x), прибавим получившееся выражение к правой части равенства (6.38) ; тогда получим
2F(x(0) ) F(x(0) )
d2g(x(0) )= -----------dxjdxk + ----------- d2xj (6.38)
xj xk xj
где dxi, i=1,2,…,n удовлетворяет системе уравнений (6.35).Поскольку x(0) точка стационарная для функции Лагранжа, то второй член получившегося равенства обращается в нуль, и тем самым формула (6.37) доказана.
Будем говорить, что квадратичная форма d2F(x(0) ) является положительно (отрицательно) определенной квадратичной формой переменных dxi, i=1,2,…,n, при условии, что эти переменные удовлетворяют системе уравнений (6.35), если для любых dxi, i=1,2,…,n , удовлетворяющих этой системе уравнений и таких, что (dxi)2>0 выполняется неравенство d2F(x(0) ) >0 (соответственно d2F(x(0) ) <0)
Пусть точка x(0) удовлетворяет уравнениям связи (6.3) и является стационарной для функции Лагранжа (6.11) и пусть второй дифференциал функции Лагранжа в этой точке является положительно (отрицательно) определенной квадратичной формой переменных dx1,…,dxn, при условии, что они удовлетворяют системе уравнений (6.35).Тогда из (6.36) и (6.37) следует, что x(0) является стационарной точкой для функции g(x) и что второй дифференциал этой функции в точке x(0) является положительно (отрицательно) определенной квадратичной формой переменных dxm+1,…,dxn, и, следовательно, функция имеет в точке x(0) строгий минимум (максимум) , а значит, функция f0(x) имеет в точке x(0) условный строгий минимум (максимум) относительно уравнений связи (6.3).
Сформулируем полученный результат в виде теоремы.
Теорема 6.3: Если x(0) удовлетворяет уравнениям связи (6.3) и является стационарной точкой для функции Лагранжа (6.11) и если второй дифференциал функции Лагранжа в этой точке является положительно (отрицательно) определенной квадратичной формой переменных dx1,…,dxn при условии, что они удовлетворяют системе уравнений (6.29), то x(0) является точкой строгого минимума (максимума) для функции f относительно уравнений связи (6.3).
Таким образом, чтобы исследовать стационарную точку функции Лагранжа (6.11) на условный экстремум, надо исследовать на определенность квадратичную форму (6.37), т.е. второй дифференциал функции Лагранжа в этой точке при выполнении условий связи (6.3) (когда дифференциалы dxi, i=1,2,…,n связаны соотношениями (6.29)).При этом следует иметь в виду, что если второй дифференциал функции Лагранжа в рассматриваемой точке окажнтся положительно (отрицательно) определенным и без выполнения условий связи, то он будет и таковым , конечно, и при их выплнении.
7.Заключение.
Математический анализ это совершенно естественная, простая и элементарная наука, ничуть не более заумная, сложная или “высшая”, чем, скажем, “элементарная” геометрия. Многие теоремы, традиционно входившие в курс геометрии, куда сложнее, чем основополагающие теоремы классического анализа. Ныне противопоставление элементарной математики и анализа непродуктивно, и вовсе необязательно проявлять бездну остроумия только лишь из боязни использовать свойства производной.
Привнесение элементов математического анализа в школьные программы неизбежно приведет к перестройке и других областей математического образования – изменится содержание конкурсных задач, кружковой работы, математических олимпиад и многого другого. Теперь уже невозможно не учитывввать, что школьник должен знать нечто из ранее недоступной ему высшей математики.
При этом следует иметь в виду, что если освоены лишь самые основы математического анализа, можно уже делать попытки подобраться ко многим современным проблемам.
При рассмотрении данной темы дипломного проекта теоритические сведения подтвердились практическим доказательством и математическим обоснованием.
8. Библиография.
1.А.Ф.Бермант, И.Г.Араманович Краткий курс математического анализа.-М.: Наука, 1973.
2.И.Е.Жак Дифференциальное исчисление.-М.:Государственное учебно-педагогическое издательство министерства просвещения РСФСР, 1960.
3.Г.И.Запорожец Руководство к решению задач по математическому анализу.-М.: Высшая школа,1966.
4.В.А.Зорич Математический анализ.-М.: Наука, 1981.
5.А.П.Картышев, Б.Л.Рождественский Математический анализ.-М.: Наука, 1984.
6.А.Н.Колмогоров, С.В.Фомин Элементы теории функций и функционального анализа.-М.: Наука, 1981.
7.Л.Д.Кудрявцев Курс математического анализа.-М.: Высшая школа, 1981.
8.А.Г.Моркович, А.С.Солодовников Математический анализ.-М.: Высшая школа, 1990.
9.Н.С.Пискунов Дифференциальное и интегральное исчисление. т.1.-М.: Наука, 1978.
10.К.А.Рыбников История математики.-М.:Издательство Московского университета, 1994.
11.В.М.Тихомиров Рассказы о максимумах и минимумах.-М.:Наука, 1986.
12.Г.М.Фихтенгольц Основы математического анализа. т.2.-М.: Наука, 1968.
13.Г.М.Фихтенгольц Курс дифференциального и интегрального исчисления. т.1.-М.: Наука, 1969.