Прикладная математика (стр. 10 из 14)
Предположим сначала, что игроки озабочены только максимизацией среднего дохода за партию игры – обычная цель в таких играх. Тогда игроки будут играть со своими оптимальными стратегиями:
– Первый игрок и 
– Второй.Математическое ожидание с. в.
называется ценой игры, обозначим ее 
.Но что же назвать риском всей игры?
Вычислим дисперсию выигрыша Первого при оптимальных стратегиях игроков.
.Так как
, а через 
сумма обозначена 
.Заметим, что в сумме
можно оставить лишь те слагаемые, у которых 
Заметим теперь, что если Первый играет со стратегией
, а Второй отвечает 
-й чистой стратегией, то выигрыш первого есть с.в. с рядом распределения:  |  | … |  | … |  |
 | … |  | … |  |
есть оптимальная стратегия Первого, а 
, то из теории матричных игр с нулевой суммой известно, что выигрыш Первого при таких стратегиях по-прежнему равен цене игры , а дисперсия выигрыша Первого при этом равна 
, то есть равна 
. Таким образом, что происходит с риском выигрыша Первого, можно понять, сравнив дисперсию при оптимальных стратегиях 
и дисперсию 
или величины 
и 
. Пусть 
Как легко понять, если среди 
есть разные числа, то 
Теперь можно сделать следующий вывод:
Чуть-чуть отойдя от своей оптимальной стратегии (смотрите ниже Пример) и таким образом почти не уменьшив свой выигрыш, Первый может значительно уменьшить свой риск. При этом уменьшается и риск Второго, что отвечает и его интересам.
Чисто математически можно сказать, что в описанной ситуации риск выигрыша Первого не зависит от его стратегии непрерывно.
Рассмотрим подробно пример матричной игры с матрицей
. Как известно, общий случай в окрестности оптимальных стратегий игроков сводится к анализу такой игры.Пример. Пусть матрица игры есть
. Графическое решение этой игры показано на рисунке 1. 
 | ||
Цена игры
, оптимальные стратегии игроков есть 
, 
. Дисперсия выигрыша Первого при оптимальных стратегиях 
, т. е. риск игры равен примерно 1. Далее вычисления дают 
, 
; 
,
Примерная, но достаточно точная зависимость риска Первого в малой окрестности его оптимальной стратегии показана на рис. 2.  |
, а при отходе Первого от своей оптимальной стратегии влево Второй переходит на свою 2-ю чистую стратегию и риск Первого скачком снижается до 
Аналогичное верно и в отношении Второго. Кратко повторим. Примерная, но достаточно точная зависимость риска Второго в малой окрестности его оптимальной стратегии показана на рис. 3. Как видно из рис. 3 при отходе второго от своей оптимальной стратегии вправо, т. е. при увеличении вероятности у выбора им 1-й строки Первый начинает отвечать 2-й чистой стратегией и риск Второго скачком уменьшается до
, а при отходе второго от своей оптимальной стратегии влево Первый переходит на свою 1-ю чистую стратегию и риск Второго скачком увеличивается до 
Пусть
. Эту величину и можно назвать риском всей игры. Однако играть с таким риском можно лишь при согласии обеих сторон. Для анализируемой игры 
и игроки для достижения такого риска должны играть так: Первый играет со своей оптимальной стратегией 
3,5), а Второй должен использовать 2-ю чистую стратегию.§12. Анализ доходности и риска финансовых операций
Финансовой называется операция, начальное и конечное состояния которой имеют денежную оценку и цель проведения которой заключается в максимизации дохода - разности между конечной и начальной оценками.
Почти всегда финансовые операции проводятся в условиях неопределенности и потому их результат невозможно предсказать заранее. Поэтому финансовые операции рискованны, т.е. при их проведении возможны как прибыль так и убыток (или не очень большая прибыль по сравнению с той, на что надеялись проводившие эту операцию).
Как оценить операцию с точки зрения ее доходности и риска?
Существует несколько разных способов. Наиболее распространенным является представление дохода операции как случайной величины и оценка риска операции как среднего квадратического отклонения этого случайного дохода.
Рассмотрим какую-нибудь операцию, доход которой есть случайная величина Q. Средний ожидаемый доход `Q - это математическое ожидание с.в. Q:
, где pi есть вероятность получить доход qi. А среднее квадратическое отклонение (СКО) 
- это мера разбросанности возможных значений дохода вокруг среднего ожидаемого дохода. Вполне разумно считать s количественной мерой риска операции и обозначить r. Напомним, что дисперсияРассмотрим четыре операции Q1, Q2, Q3, Q,4. Найдем средние ожидаемые доходы `Qi и риски ri операций.