Предположим теперь, что предприятие может выпускать четыре вида продукции, используя для этого три вида ресурсов. Известна технологическая матрица А затрат любого ресурса на единицу каждой продукции, вектор В объемов ресурсов и вектор С удельной прибыли
(7)
Требуется составить производственную программу, обеспечивающую предприятию наибольшую прибыль при имеющихся ограниченных ресурсах
Математическая модель задачи:
найти производственную программу
(x1, x2, x3, x4)
максимизирующую прибыль
z = 36x1+ 14x2 + 25x3 + 50x4 (8)
при ограничениях по ресурсам
(9)
где по смыслу задачи
x1 ³ 0, x2 ³ 0, x3³ 0, x4³ 0. (10)
Получили задачу на условный экстремум. Для ее решения систему неравенств (9) при помощи дополнительных неотрицательных неизвестных х5, х6, х7 заменим системой линейных алгебраических уравнений
(11)
где дополнительные переменные имеют смысл остатков соответствующих ресурсов. Среди всех решений системы уравнений (11), удовлетворяющих условию неотрицательности
х1³0, х2³0, … , х5³0, … , х7³0. (12)
надо найти то решение, при котором функция (8) примет наибольшее значение.
Воспользуемся тем, что правые части всех уравнений системы (11) неотрицательны, а сама система имеет предпочитаемый вид – дополнительные переменные являются базисными. Приравняв к нулю свободные переменные х1, х2, х3, х4, получаем базисное неотрицательное решение
x1=0, x2=0, x3=0, x4=0, x5=208, x6=107, x7=181 (13)первые четыре компоненты которого определяют производственную программу
x1=0, x2=0, x3=0, x4=0 (14)
по которой мы пока ничего не производим.
Из выражения (8) видно, что наиболее выгодно начинать производить продукцию четвертого вида, так как прибыль на единицу продукции здесь наибольшая. Чем больше выпуск в этой продукции, тем больше прибыль. Выясним, до каких пор наши ресурсы позволяют увеличить выпуск этой продукции. Для этого придется записать для системы уравнений (11) общее решение
(15)Мы пока сохраняем в общем решении х1=х2=х3=0и увеличиваем только х4. При этом значения базисных переменных должны оставаться неотрицательными, что приводит к системе неравенств
или 
т.е. 0 £ х4 £ 
Дадим х4 наибольшее значение х4 =181/5, которое она может принять при нулевых значениях других свободных неизвестных, и подставим его в (15). Получаем для системы уравнений (11) частное неотрицательное решение
х1=0, х2=0, х3=0, х4=
; x5=27; x6= 
; x7=0 (16)Нетрудно убедиться, что это решение является новым базисным неотрицательным решением системы линейных алгебраических уравнений (11), для получения которого достаточно было принять в системе (11) неизвестную х4 за разрешающую и перейти к новому предпочитаемому виду этой системы, сохранив правые части уравнений неотрицательными, для чего за разрешающее уравнение мы обязаны принять третье, так как
а разрешающим элементом будет а34=5. Применив известные формулы исключения, получаем для системы уравнений (11) новый предпочитаемый эквивалент
x1 + 2x2 + 2x3 + x5 - x7 = 27 
x1 + 
x2 - x3 + x6 - 
x7 = 
(17) 
x1 + 
x2 + x3 + x4 + x7 = 
Приравняв к нулю свободные переменные х1, х2, х3, х7, получаем базисное неотрицательное решение, совпадающее с (16), причем первые четыре компоненты его определяют новую производственную программу
х1=0, х2=0, х3=0, х4=
. (18) Исследуем, является ли эта программа наилучшей, т.е. обеспечивает ли она наибольшую прибыль. Для этого выразим функцию прибыли (8) через новые свободные переменные х1, х2, х3, х7.Из последнего уравнения системы (17) выражаем базисную переменную х4 через свободные и подставляем в (8). Получаем
(19)Видим, что программа (18) не является наилучшей, так как прибыль будет расти, если мы начнем производить или первую, или вторую, или третью продукцию, но наиболее быстро функция z растет при возрастании х1. Поэтому принимаем х1 в системе (17) за разрешающую неизвестную, находим разрешающее уравнение по
(20)и исключаем х1 из всех уравнений системы (17), кроме первого уравнения. Получим следующий предпочитаемый эквивалент системы условий, который определит для системы (11) новое базисное неотрицательное решение и уже третью производственную программу, для исследования которого нам придется выразить функцию (19) через новые свободные переменные, удалив оттуда переменную х1, ставшую базисной. Мы видели выше, как это делается (удаляли х4 из (8)).
Важно обратить внимание на то, что эти удаления можно выполнить очень просто. Представим соотношение (8) в виде уравнения
-36х1-14х2-25х3-50х4=0– z (21)
и припишем его к системе (11). Получается вспомогательная система уравнений
(22)Напомним, что разрешающую неизвестную в системе (11) мы выбрали х4. Этой переменной в последнем уравнении системы (22) отвечает наименьший отрицательный коэффициент D4=-50. Затем мы нашли разрешающий элемент а34=5 и исключили неизвестную х4 из всех уравнений системы (11), кроме третьего. Далее нам пришлось х4 исключать и из функции (8). Теперь это можно сделать очень просто, если посмотреть на систему уравнений (22). Очевидно, достаточно умножить третье уравнение системы (22) на 10 и прибавить к четвертому; получим
-6х1-4х2-5х3-10х4= 1810 – z (23)
Таким образом, мы преобразовывали вспомогательную систему уравнений (22) к виду x1 + 2x2 + 2x3 + x5 - x7 = 27
x1 + x2 - x3 + x6 - x7 = (24) x1 + x2 + x3 + x4 + x7 = -6x1 - 4x2 - 5x3 +10x7 = 1810 - z
Первые три уравнения этой системы представляют некоторый предпочитаемый эквивалент (17) системы уравнений (11) и определяют базисное неотрицательное решение (16) и производственную программу (18), а из последнего уравнения системы (24) получается выражение (19) функции цели через свободные переменные. Очевидно, если имеется хотя бы один отрицательный коэффициент Dj при какой-нибудь переменной xj в последнем уравнении системы (24), то производственная программа не является наилучшей и можно далее продолжать процесс ее улучшения. С помощью (19) мы выяснили, что следует начинать производить продукцию первого вида, т.е. фактически мы нашли в последнем уравнении системы (24) наименьший отрицательный коэффициентmin(Dj<0) = min(-6, -4, -5) = -6 = D1